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已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 18:34:29
已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形
(记为Q)。(2)过点P(0,4)的直线 L与椭圆C相交于MN两点 当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时 求直线L的斜率的取值范围
已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形

由题可设椭圆方程式为:x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)、a^2-c^2=b^2
图中正方形面积为8可知:
b^2+c^2=8,b=c=2
又a^2-c^2=b^2

得:a=2√2
即椭圆方程为:x^2 / 8 + y^2/4 = 1
设直线方程为 y = kx + 4,x=(y-4)/k
代入椭圆方程x^2 +2y^2 =8
有x^2 +2(kx+4) ^2=8,[(y-4)/k]^2+2y^2=8
(2k^2+1)x^2+16kx+24=0,(2k^2+1)y^2-8y+16-8k^2=0
由二次函数两根之和为-b/a可得:
x1+x2=-16k/(2k^2+1),y1+y2=8/(2k^2+1)
即:(x1+x2)/2=-8k/(2k^2+1),(y1+y2)/2=4/(2k^2+1)
中点坐标为:[-8k/(2k^2+1),4/(2k^2+1)]
由图可知:直线L与椭圆c相交且满足相交玄中点落在正方形内有两种情况
①当中点落在y=-x+2,即落在第一象限内正方形的边上
②当中点落在y=x+2,即落在第二象限内正方形的边上
将中点坐标代入①、②可得:
①、4/(2k^2+1)=8k/(2k^2+1)+2
4=8k+4k^2+2
k^2+2k-1/2=0
解出:k1=-1-√(3/2),k2=-1+√(3/2)
由于中点落在第一象限时,直线L斜率为负值,所以取k=-1-√(3/2)
②、4/(2k^2+1)=-8k/(2k^2+1)+2

4=-8k+4k^2+2
k^2-2k-1/2=0
解出:k1=1-√(3/2),k2=1+√(3/2)
由于中点落在第二象限时,直线L斜率为正值,所以取k=1+√(3/2)
综上:

①当MN中点落在第一象限内,k取值范围为(-∞,-1-√(3/2)]
②当MN中点落在第二象限内,k取值范围为[1+√(3/2),+∞)
特殊情况:当中点为原点时,直线L即为y轴,直线方程为:x=0,斜率不存在.
已知椭圆C的中点在原点 焦点在x轴上 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形 已知椭圆C的中心在原点,焦点在 x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q) 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个正方形 已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是正方形 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个正方形.求椭圆的... 已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个正方形.当该正方... 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与x轴不 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点F与x轴不 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在X轴上,短轴长为2,且两焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点F与X轴不垂 已知椭圆的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形, 椭圆中心在原点,对称轴在坐标轴上,且以短轴的一个端点与两个焦点为顶点的三角形面积为12……