已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为次A,当∠BAC为直角时,求证角次ABC为钝角三角形.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/16 23:25:02

已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为次A,当∠BAC为直角时,求证角次ABC为钝角三角形.
当∠BAC=60°,AB,AC与平面α所成的角分别是30°和45°,求B次AC的余弦值

题目：
已知△ABC的边BC在平面α内,A在平面α上的射影为A",
1）当∠BAC为直角（RT∠）时,求证：△A"BC为钝角三角形.
2）当∠BAC=60°,AB、AC与平面α所成的角分别是30°和45°,求BA"C的余弦值（cos∠BA"C）
问题一：
当∠BAC为直角（RT∠）时,求证：△A"BC为钝角三角形.
证明：设AA"=h,AC=a,BC=b,AC=a,并且b>a>0,b>c>0,h>0
∵ △ABC的在平面α上的射影为A"
∴ AA"⊥平面α,根据线面垂直得到：
AA"⊥A"B； ➡ △A"AB为直角三角形Rt△,∠AA"B=RT∠=90°
AA"⊥A"C； ➡ △A"AC为直角三角形Rt△,∠AA"C=RT∠=90°
∵ AB=a,AC=b,BC=a,已经求得：△A"AB、 △A"AC为直角三角形Rt△
∴ A"B²=AB²-A"A²=c²-h² ➡ A"B=√(c²-h²) 【说明：√()表示：()内的开根号,以下雷同】
A"C²=AC²-A"C²=a²-h² ➡ A"C=√(a²-h²)
又∵ ∠BAC为直角（RT∠）
∴ a²+c²=b² 等式①
∵ ∠A"BC为△A"BC的一内角
∴ 根据余弦定理得到：
BC²=A"B²+A"C²-2A"B×A"C×cos∠BA"C
cos∠BA"C=(A"B²+A"C²-BC²) ÷ 2A"B×A"C 等式②
AC=a,BC=b,AC=a,A"B=√(c²-h²),A"C=√(a²-h²),代入等式②
cos∠BA"C=(A"B²+A"C²-BC²) ÷ 2A"B×A"C
=(c²-h²+a²-h²-b²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)
=(c²+a²-b²-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²) 把等式①代入得
=(-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)
∵ b>a>0,b>c>0,h>0
∴ 2×√(c²-h²)×√(a²-h²)>0
cos∠BA"C=(-2h²)÷2×√(c²-h²)×√(a²-h²)

已知三角形ABC的边AB在a平面内,A在平面a上的射影为点次A,当角BAC为直角时,求证次ABC为钝角 △ABC中,∠BAC=60°,BC∈α,AB、AC与平面α所成角分别为30°和45°,A’为A在α内DE的射影,求cos 已知三角形abc的面积为s,平面abc与平面α所成的锐角为θ,三角形abc在平面α内的正射影为三角形A'B'C% 已知:△ABC在平面α上的射影是△A'BC,平面ABC与平面α所成的二面角的平面角是β 若直角∠ABC的一边BC平行于平面a,另一边AB与平面a斜交于点A,求证∠ABC在平面a上的正投影仍为直角若直角ABC的一边BC平行与平面a,另一边AB与平面a斜交与点A.求证:角ABC在平面上的正投影仍为直角直角三角形△ABC的斜边AB在平面α内的射影为C', 1：直角三角形ABC的直角边AB在平面m内,顶点C在m外,且C在m内的射影为D（D不在AB上）,则三角形是（）…A直角三在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,AC=4,顶点A在平面α内,AB,AC与平面α所成的角都为45°,求直线BC与 1、直角△ABC的直角边AB在平面α内,顶点C在α外,则直角边BC,斜边AC在平面α上的射影与直角边AB组成的图形是已知△ABC为锐角三角形,直线SA⊥平面ABC,H是点A在平面SBC上的射影,求证.H不可能是△SBC的垂心 Rt三角形 ABC的斜边AB在平面a内,直角顶点C 在a外,C在a上的射影为D(不在AB上),则三角形ABD是?