设AB均为n阶矩阵A^2=A,B^2=B,且（A+B）^2=A+B,求证AB=0;

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 03:14:50

(A+B)=A^2+B^2+AB+BA=A+B
因为A^2=A B^2=B
所以AB+BA=0
A^2=A
于是A的特征值有
b^2-b=0 =>b=0 或者b=1 （b是A的特征值）
AB+BA=0左乘A得
AB+ABA=0
=>AB(E+A)=0
因为A的特征值只能在0和1中选择所以A+E的特征值只能在1和2中选择
所以A+E行列式不等于0
那么A+E不可逆也就是说有 n个不相关的向量
也就是说AB有n个基础解系（因为AB(E+A)=0,可以把E+A看作AB的齐次方程的解）
也就是AB的秩为0
那么AB只能为0

设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B) 设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且r(A)=n.求证：（1）如果AB=O,则B=O;(2)如果AB=A,则B=I. 设A,B均为n阶可逆矩阵,求证:(AB)^*=B*A* 设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0. 设A.B都是n级矩阵,且A+B=AB,求证：AB=BA 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证r(A+B) n阶矩阵计算设A、B均为n阶矩阵,且丨A丨=3,丨B丨=-2,A*B*分别为AB的伴随矩阵,则丨2A^(-1)B*+A* n阶段矩阵计算设A、B均为n阶矩阵,且丨A丨=3,丨B丨=-2,A*B*分别为AB的伴随矩阵,则丨2A^(-1)B*+A 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,证明A,B可交换设a.b均为n阶（n≥2）可逆矩阵,证明（AB）*=A*B* 设A,B为n阶方阵,且2A-B-AB=E,A^2=A,证明:A-B可逆,并求其逆矩阵设A,B为N阶矩阵,A不等于0,且AB=0,则（）A.BA=0 B.(A-B)^2=A^2+B^2 C.B=0 D.|