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Abcd是菱形,pa垂直于平面abcd,pa=pd=2,角BAD=60度,求二面角B-PC-A的正切值

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/07/24 13:55:35
Abcd是菱形,pa垂直于平面abcd,pa=pd=2,角BAD=60度,求二面角B-PC-A的正切值
Abcd是菱形,pa垂直于平面abcd,pa=pd=2,角BAD=60度,求二面角B-PC-A的正切值

如上图所示,连接AC,PC,做AE垂直PC交PC于E;做BF垂直于PC交PC于F.
则所求二面角B-PC-A即为AE和BF的夹角,即向量EA与向量FB的夹角.设此角为α.
由ABCD为菱形且角BAD为60度,不难求出AC=2√3(√表示根号).
又PA垂直于平面ABCD,可知PA垂直于AC.又知PA=2,可得PC=4,且角APC为60度.不难得出AE=√3,PE=1,EC=3.
由PA垂直于平面ABCD,可知PA垂直于AB.又由PA=AD=AB=BC=2,可知PB=2√2.单看三角形PBC,如下图所示

设FC为x,则PF=4-x.由勾股定理得BF²=BC²-FC²=PB²-PF².代入数据可解得
x=3/2.且BF=√3/2.
求得EF=EC-FC=3-3/2=3/2.
向量AB=向量AE+向量EF+FB向量.
两边平方,得
|AB|²=|AE|²+|EF|²+|FB|²+向量AE*向量EF+向量EF*向量FB+向量AE*向量FB.
又AE垂直于PC,BF垂直于PC,得
向量AE*向量EF=0,向量EF*向量FB=0.代入AB,AE,EF,FB,得
向量AE*向量FB=-2,故向量EA*向量FB=2又
向量AE*向量FB=|AE|*|FB|*cosα.代入AE,FB,得
cosα=4/√21.则sinα=√5/√21,tanα=√5/4.