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已知f(x)=lnx+kex在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf′(x)

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/03/29 13:23:31
已知f(x)=
lnx+k
e
已知f(x)=lnx+kex在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf′(x)
(1)由已知可得f′(x)=

1
x−Inx−k
ex,
∴f′(1)=
1−k
e=0,∴k=1,
∴F(x)=xexf'(x)=x(
1
x−lnx−1)=1−xlnx−x,
∴F'(x)=-lnx-2,
由F′(x)=−lnx−2≥0⇒0<x≤
1
e2,由F′(x)=−lnx−2≤0⇒x≥
1
e2,
∴F(x)的增区间为(0,
1
e2],减区间为[
1
e2,+∞);
(2)∵对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),等价于g(x)max<F(x)max
由(1)知,当x=
1
e2时,F(x)取得最大值F(
1
e2)=1+
1
e2.
对于g(x)=-x2+2ax,其对称轴为x=a
当0<a≤1时,g(x)max=g(a)=a2,∴a2<1+
1
e2,从而0<a≤1.
当a>1时,g(x)max=g(1)=2a-1,∴2a−1<1+
1
e2,从而1<a<1+
1
2e2.
综上可知:0<a<1+
1
2e2.