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已知函数f(x)=a-1/(2的x次方+1),(a属于R)

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/17 04:31:39
已知函数f(x)=a-1/(2的x次方+1),(a属于R)
(1)求证不论a为何实数它总为增函数:
(2)f(x)为奇函数,求a的值
(3)当它为奇函数使,求值域
已知函数f(x)=a-1/(2的x次方+1),(a属于R)
(1)方法一:导数法.f'(x)=2^xln2/(2^x+1)^2≥0恒成立,∴不论a为何实数它总为增函数
方法二:定义法.取任意x1<x2
f(x1)-f(x2)=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)=(通分)(2^x1-2^x2)/(2^x2+1)(2^x1+1)
设函数g(x)=2^x g(x)在R上单调递增
∵x1<x2
∴2^x1<2^x2
∴2^x1-2^x2<0
又因为2^x2>0,2^x1>0
∴(2^x2+1)(2^x1+1)>0
∴(2^x1-2^x2)/(2^x2+1)(2^x1+1)<0
f(x1)-f(x2)<0
即 f(x1)<f(x2)
∴不论a为何实数它总为增函数
(2)方法一:∵f(x)为奇函数,且定义域为R
∴f(0)=0 a=1/2
( 注意 :用此方法一定要检验!)
检验:当a=1/2时,f(x)=1/2-1/(2^x+1)=(2^x-1)/(2(2^x+1))
f(-x)=1/2-1/(2^-x+1)=(1-2^x)/(2(2^x+1))=-f(x)
所以f(x)是奇函数
∴a=1/2 符合条件
方法二:∵f(x)为奇函数
∴f(-x)=-f(x)
a-1/(2^-x+1)=-(a-1/(2^x+1))
通分 ((a-1)2^x+a)/(2^x+1)=-(a(2^x+1)-1)/(2^x+1)
约分 (a-1)2^x+a=-(a(2^x+1)-1)
(2a-1)2^x+2a-1=0 恒成立
2a-1=0 a=1/2
(3)f(x)=1/2-1/(2^x+1)
∵定义域为R
∴2^x>0 2^x+1>1
∴0<1/(2^x+1)<1
∴-1<-1/(2^x+1)<0
∴-1/2<1/2-1/(2^x+1)<1/2
∴值域为(-1/2,1/2)
自己做的,若有误,先抱歉~