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已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/26 05:05:16
已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
由已知得:(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
又(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3
=[(x-1)+(y-1)+(z-1)]·[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1)]+3(x-1)(y-1)(z-1)
=3(x-1)(y-1)(z-1)
而(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0
∴3(x-1)(y-1)(z-1)=0
∴x-1、y-1、z-1中至少有一个为零
即x、y、z中至少有一个为1

用到了一个结论:
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
当a+b+c=0时,则a^3+b^3+c^3=3abc