已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/26 05:05:16
已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
由已知得:(x-1)+(y-1)+(z-1)=0
又(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3
=[(x-1)+(y-1)+(z-1)]·[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1)]+3(x-1)(y-1)(z-1)
=3(x-1)(y-1)(z-1)
而(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0
∴3(x-1)(y-1)(z-1)=0
∴x-1、y-1、z-1中至少有一个为零
即x、y、z中至少有一个为1
用到了一个结论:
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
当a+b+c=0时,则a^3+b^3+c^3=3abc
又(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3
=[(x-1)+(y-1)+(z-1)]·[(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1)]+3(x-1)(y-1)(z-1)
=3(x-1)(y-1)(z-1)
而(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0
∴3(x-1)(y-1)(z-1)=0
∴x-1、y-1、z-1中至少有一个为零
即x、y、z中至少有一个为1
用到了一个结论:
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc
当a+b+c=0时,则a^3+b^3+c^3=3abc
已知x+y+z=3,且(x-1)立方+(y-1)立方+(z-1)立方=0,求证x,y,z中至少有一个为1
已知x+y+z=3,且(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0,求证:x,y,z中至少有一个为1.
已知x的立方根=4,且y-2z+1的平方根=(z-3)的差的平方=0,求x的立方+y的立方+z的立方的和的立方根的值
已知根号x的立方=4,且(y-2z+1)的平方+根号z-3的4次方,求根号3x+y的立方+z的立方的值
已知A=2x的立方-xyz,B=y的立方-z的立方+xyz,C=-x的立方+2y的立方-xyz,且(x+1)的平方+|y
已知x的立方根=4,且√(y-2z+1)+(z-3)的平方=0,求x+y的立方+z的立方的值
已知x的立方根=4,且(y-2z+1)的平方+4次根号z-3=0,求x+y的立方+z的立方的和的立方根
x的立方根是4( y-2z+1)平方+根号z-3 =0 x+y立方+z立方的立方根 急
已知A=2x的立方-xyz,B=y的立方-z的平方+xyz,C=-x的立方+2y的立方-xyz,且(x+1)的平方
已知三次立方根号x等于4,根号√2y-z+1+(z-3)²=0,求√x-y³-z³的值
已知ax立方=by立方=cz立方,1/x+1/y+1/z=1,求证:立方根ax²+by²+cz&su
已知x+y+z=3,x平方+y平方+z平方=19,x立方+y立方+z立方=30,则a+b=