三角形ABC的外侧,以BC.CA.AB为斜边做等腰直角三角形BCD.CAE.ABF,其中角D=角E=角F=90度.求证A

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/19 11:28:15

三角形ABC的外侧,以BC.CA.AB为斜边做等腰直角三角形BCD.CAE.ABF,其中角D=角E=角F=90度.求证AD垂直且等于EF
还有类似一题:在三角形ABC的三条边上分别向形外作正三角形ABC1正三角形AB1C和正三角形A1BC.求证AA1.BB1.CC1长度相等且共点.
请大哥哥大姐姐帮忙解决两道题,小弟一定另外酬谢.

这个是高中数学竞赛的问题,我在高中的时候做过（好怀念啊……）,这个是有纯几何的方法证明的,但是我忘记了.刚才看到你的问题,帮你做了做,还是用笨方法做出来了.
你能问出这样的问题,我就当你有一些集合的基本只是,比如正弦定理,三角函数的和差化积,积化和差.其实这道题就用到正弦定理和和差化积就可以证明.
只需要证明∠AEF+∠CAD=45°（这个很简单,导导角就行）
设∠AEF=β,∠CAD=α,BC=a,CA=b,AB=c,∠A=A,∠B=B,∠C=C.
正弦定理：AD/sin(C+45°)=DC/sinα ,AD/sin(B+45°)=BD/sin(A-α),两式相比,得sin(A-α)/sinA=sin(B+45°)/sin(C+45°）（1）
△AEF应用正弦定理：AE/sin(180°-90°-A-β)=AF/sinβ
又有：AE/AF=AC/AB=b/c=sinB/sinC
以上两式整理得到：sinβ/cos(A+β)=sinC/sinB (2)
通过（1）（2）两式可以分别整理出 tanβ和tanα关于B、C的表达式
（A用180°-B-C带入）
再应用：tan(45°-α)=(1-tanα)/(1+tanα),将tanα的表达式带入,发现与tanβ表达式相同,得出结论,tan(45°-α)=tanβ,所以得证.
方法很笨,但是当你考试的时候纯几何方法做不出来的时候,试试三角法.解决平面几何问题,有三种方法：（1）纯几何方法,需要做提着很高的熟练度,同时知道很多定理,比如我在高中的时候,集合定理起码知道30个左右吧,重要的有梅涅劳斯定理,塞瓦定理,欧拉定理,帕斯卡定理,欧拉九点圆,透视定理等等.纯几何方法如果能做出题目一般就很漂亮,很巧,计算量很小.(2)三角法,熟练运用三角变换,正弦定理,余弦定理,然后计算,计算量较大,但是有效,基本不需要怎么思考,就像这道题.(3)解析法,极其不推荐这种方法,但是到了大学,应用计算机,基本上没有解决不了的平面几何问题,平面几何问题从此也就失去魅力了……呵呵,加油!