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线性代数第五版习题五第24题为什么Aa=aaTa=a(aTa)=(aTa)a?为什么aaT=aTa?

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 22:21:02
线性代数第五版习题五第24题为什么Aa=aaTa=a(aTa)=(aTa)a?为什么aaT=aTa?
原题:设a=(a1,a2,.an)T,a不等于0,A=aaT,(1)证明入=0是A的n-1重特征值;(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.习题书上说求特征向量时,由A=aaT,有Aa=aaTa=a(aTa)=(aTa)a,按定义,即知A有非零特征值入=aTa,且对应的特征向量为a.
还有
24.设a=(a1,a2...,an)T,a1不等于0,A=aaT.
(1)证明入=0是A的n-1重特征值;
证明 :设入是A的任意一个特征值,x是A的对应于入的特征向量,则有
Ax=入x,
(入^2)x=(A^2)x=aaTaaTx=aTaAx=入aTax,
上述中,为什么aaTaaTx=aTaAx?aaT=aTa?
线性代数第五版习题五第24题为什么Aa=aaTa=a(aTa)=(aTa)a?为什么aaT=aTa?
记住:当a=(a1,a2,.an)T 列向量
那么aTa是一个常数(常数当然可以随便改变位置),而aaT是一个n阶方阵.