如图,pa⊥abd,pc⊥bcd,ef分别是bc,cd上的点,且ef⊥ac

建立空间坐标系A-XYZ,AE为x轴,AD为y轴,AP是z轴

1.是垂直的∵PA⊥面ABCD,AE∈面ABCD∴PA⊥AE∵ABCD是菱形,∠ABC=60°∴△ABC是正三角形又E是BC中点∴AE⊥BC又AD∥BC∴AE⊥AD∵PA∩AD=面PAD∴AE⊥面PA

如图，连接OA．∵PA2=PC•PB又∵PC+PB=a∴BC=PB-PC=(PB+PC)2−4PB•PC=a2−4∴OA=OC=a2−42∴OP=OA2+PA2=a2又∵∠APH=∠OPA，∠PAO=

取PD的中点E,连接AE、NE因为,E、N分别是PD、PC的中点所以,EN平行且等于CD的1/2又因,CD平行且等于AB所以,EN平行且等于AB的1/2因为,M是AB的中点所以,EN平行且等于AM所以

设F为AB中点,G为PF中点.CF⊥PAB（∵CF⊥PA.DF⊥AB）.GE⊥PAB（∵GE‖CF）.GE＝CF/2＝√2/4（设PA＝1）.BE＝√[（1/2）+1]＝√（3/2）.所求正弦值＝EG

证明：（Ⅰ）∵E，F分别是AC，BC的中点，∴EF∥PB．又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．（Ⅱ）∵侧棱PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC，又由AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥

证明：∵PA⊥平面ABC,AB⊥BC由三垂线定理知,BC⊥PA,∴BC⊥面PAB,又BC∈面PBC,∴面PBC⊥面PAB又AE⊥PB,面PBC∩面PAB于PB,∴AE⊥面PBC又AE∈面AEF,∴平面

(1)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,又PA∩AC=C,∴BD⊥平面PAC,∵点E在PC上,∴AE在平面PAC内,∴BD⊥AE.(2)在Rt△PAC中,∵PA

1.∵PA⊥面ABCD∴PA⊥BC又AB⊥BC∴BC⊥面PAB∴面PAB⊥面PCB2.连接BD交AC于M易知△ADC△ABC皆为等腰直角三角形可得AB:CD=1:2∴BM:MD=1:2又BE:EP=1

取BC的中点D，连接PD，AD，∵PB=PC，∴PD⊥BC∵PA⊥平面ABC，由三垂线定理的逆定理得 AD⊥BC∴∠PDA就是二面角P-BC-A的平面角∵PB=PC=BC=6，∴PD=32×

（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴AE⊥BC，∵AE⊥PB，PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，∵AE⊂

给图~

AE在PAB中,由BC⊥平面PAB可推出BC⊥AE条件中AE⊥PB,所以AE⊥平面PBC,所以平面AEF⊥平面PBC

取AC中点M,连接EM、MF.则EM和MF分别是三角形PCA和三角形ABC的中位线.EM平行于PC,且EM＝PC/2MF平行于AB,且EM＝AB/2因为PC⊥AB,所以EM垂直MF因为PC=AB,所以

（1）∵PA⊥底面ABCD，BC⊆底面ABCD，∴PA⊥BC，又∵AB⊥BC，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．∵BC⊂平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．（2）∵PA⊥底面ABCD，∴AC为PC

pa⊥面abc所以pa⊥bc又bc⊥ab所以bc⊥面pab所以bc⊥ae又ae⊥pb所以ae⊥面pbcae⊥pc又af⊥pc所以pc⊥面afe所以pc⊥ef三棱锥P—AEF的体积=ae*△pfe的面积

反证法过B作AP垂线BO,过c作AP垂线cO',O,O'均在AP上假设O,与O'不重合则有,在三角形ABP中,BO是AP边的高,AB=BP,所以,AO=PO同理,三角形cBP中,有AO'=PO'所以,

作出AE.BF.CG.相交于H.因为PB垂直PA.PC.所以,PB垂直平面PAC.同理PA垂直平面PBC.PC垂直平面PAB.又因为,BE垂直AC.所以PH垂直BF.同理PH垂直AE.PH垂直CG.所

证明：如图，过点P作PE⊥BA于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC于F，∴PE=PF，∠PEA=∠PFB=90°，在Rt△PEA与Rt△PFC中PA＝PCPE＝PF，∴Rt△PEA≌Rt△PFC（HL），∴

证明：过P作PO⊥平面ABC,垂足为O所以PA在平面ABC的射影是AO,又PA⊥BC,根据三垂线定理的逆定理知,（在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂