如果A平方等于E,证明A的特征值只能是正负1

(A+E)的平方=OA²+2A+E=OA(A+2E)=-EA(-A-2E)=E所以有定义可知A可逆.

一方面A平方=A推出0.5（B+E）=0.25(B+E)平方2B+2E=B*B+2B+E所以B的平方=E另一方面E=B平方A平方=0.25（B平方+2B+E）=0.25（2B+2E）=0.5（B+E)

正交矩阵定义：AA'=E（E为单位矩阵,A'表示“矩阵A的转置矩阵”.）或A′A=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵对称矩阵A'=A所以A方=E,命题成立

Aa=ra,r为特征根.a=Ea=A^2a=A(Aa)=Ara=rAa=r(ra)=r^2a=>r^2=1,r=1or-1.

A=A^24A^2-4A+E=E(E-2A)(E-2A)=E所以E-2A可逆且（E-2A）的负一次方等于E-2A

A^2+A=E所以A^2+A-2E=-E,即(A+2E)(A-E)=-E,因此-(A+2E)(A-E)=E.同理(A-E)[-(A+2E)]=E所以(A-E)可逆,逆矩阵为-（A+2E）

只需证A有特征值是1或-1.设Ax=kx(k为复特征值,x为复特征向量),则x'A'=k'x'(以'表示共轭转置,k'就是k的共轭)两式相乘,得x'x=x'A'Ax=|k|^2*x'x又x'x>0,所

由于(A+2E)(A-2E)=A^2-4E=-3E,所以(A+2E)(-A/3+2E/3)=E,因此A+2E可逆.

A^2=A->A(A-E)=0所以r[A(A-E)]≥r(A)+r(A-E)-nr(A)+r(A-E)≥r(A-A+E)所以r(A)+r(A-E)=n也可以用分块矩阵做

即证：(E-A)(E+A+A^2...+A^(k-1))=E左式展开=E*(E+A+A^2...+A^(k-1))-A*(E+A+A^2...+A^(k-1))=E-A^k当A^k=0时,左式=E

考虑(E-A)(E+A+A^2+A^3+...+A^(K-1))=E+A+A^2+A^(k-1)-A-A^2-A^3-...-A^k=E-A^k=E(因为已知A^k=0)所以E-A的可逆矩阵为E+A+

设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是1或-1

假设A+E不可逆,则|A+E|=0所以-1是A的一个特征值设ξ是属于-1的一个特征向量则A^2ξ=A(-ξ)=-Aξ=ξ但A^2=A所以A^2ξ=Aξ=-ξ矛盾

设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是±1

因为E的特征值是1,所以A^2的特征值也是1,设A有特征值k,取相应的特征向量为x,则有Ax=kx,两式左乘A,得A^2*x=k*Ax=k^2*x,故k^2=1,k=±1

A^2=A,则(A-E)A=0,若A可逆,则A-E=0,A=E；若A-E可逆,则A=0；但如果A,A-E都不可逆,那么不能有A等于E或0；反例：0001

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设λ是A的任意一个特征值,α是λ所对应的特征向量Aα=λαA²α=λAαEα=α=λ·λα=λ²αλ²=1λ=±1所以A的特征值只能是±1

拿你这题来说等式右边凑出一个k*E等式左边凑出一个(A+E)(A+mE)既(A+E)(A+mE)=kE然后拆开:A^2+(m+1)A+mE-kE=0与A^2-A=0比较系数得m+1=-1m-k=0求出

(A+E)(A-2E)=A^2-2AE+EA-2E^2=A-2A+A-2E=-2E所以A+E的逆应该是-(A－2E)/2吧