AB=BA,A B同时可对角化-搜答案-搜狗做题网

矩阵中AB=BA的条件

矩阵满足AB=BA,就称A,b是可交换的.除了特殊的几个结论外（如,A^2与A可交换）,没有什么一般的条件.

首先A和B都必须是方阵,不然AB和BA是不型的矩阵不能做减法.因此设A,B均为n阶方阵.然后因为tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0,而tr(I)=ntr(A)表示矩阵A的迹故AB-BA

证明tr(AB)=tr(BA)

以下将内容局部复制下来,详见原网址.定理1阶矩阵可对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.若阶矩阵定理2矩阵的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.推论1若阶矩阵有个互不相同的特征值,则可对角化

A可相似对角化,那么B可以相似对角化吗?不一定可以,取A=E,B为任意矩阵.易知.但注意到,如果B可以对角化,那么他和A可同时对角化,即存在可逆矩阵P有P^(-1)AP和P^(-1)BP均为对角矩阵.

AB=BA意味着A和B存在公共特征向量,再由条件可以得到A和B可以同时对角化.

1.只要取A为单位阵,B是某个不可对角化矩阵.2.A,B可同时对角化,即存在可逆矩阵T使C=T^(-1)AT与D=T^(-1)BT均为对角阵.作为对角阵,易见C,D可交换,即有T^(-1)ABT=CD

用特征多项式求特征值,求出的特征值为Λ的主对角元素也就是A的相似对角矩阵再问：不过不是对称矩阵才这么求吗？？非对称的可以吗？？再答：这吧是对称矩阵的求法，是一般矩阵都是这个求法，理解错了再问：那就是说

如果AB=BA,根据对称矩阵定义有一下两式,A=A的转置,B=B的转置,二式相乘结合,AB=BA,（AB）的转置等于B的转置乘A的转置,代换即可得出结论如果Q-1AQ和Q-1BQ同时是对角形,Q可逆,

n阶方阵A可对角化A有n个线性无关的特征向量k重特征值有k个线性无关的特征向量

可以,这时A的极小多项式是P(x)的因子而P(x)无重根,故A可对角化

这个不相等吧!

不一定,因为如果A的特征值中有一个或有几个为0时,很显然只要A的特征值的几何重数与代数重数一样的话,那么一定可相似对角化,而对角元素即为对应的特征值,此时A的行列式为0（A的行列式为其所有特征值的乘积

反证法假设存在这样的AB,因为AB与BA同时成立,根据矩阵乘法的法则,A若是m*n阶矩阵,B则是n*m阶矩阵.而他们的差是1,所以AB均为1阶矩阵,所以AB与BA相等,差应该为0而不是1,推出矛盾,所

有一个定理：AB=BA,A,B都相似于对角阵.则存在公共的满秩方阵P.使P^（-1）AP与P^（-1）BP同时为对角形.这个定理还可以推广到｛A1,A2.……,Ak｝的情况：AiAj＝AjAi（i.j

不可能.若A可对角化,那么与A相似的矩阵C也一定可对角化.由A,C相似,知存在可逆矩阵P使得A=P^-1CP.由于A可对角化,存在可逆矩阵Q使得Q^-1AQ=diag所以Q^-1P^-1CPQ=dia

设Q^(-1)AQ=D=diag(a1E,a2E,...,akE),其中a1,a2,...,ak是A的不同特征值,对应重数即为l1,l2,...,lk.在AB=BA中左乘Q^(-1),右乘Q得DQ^(

证明：矩阵A可对角化,则存在可逆阵P,使P^(-1)AP=N为对角阵,P*[P^(-1)AP]*P^(-1)=PNP^(-1)A=PNP^(-1),A可逆,则A^(-1)=[PNP^(-1)]^(-1

要注意到一个特征值的线性无关特征向量的个数

对,|AB|=|A||B|=|B||A|=|BA|,矩阵乘法没有交换律,而数的乘法又交换律再问：若n阶矩阵A或B不可逆，则AB比不可逆，这句对吗再答：对，|A|=0，或者|B|=0，|AB|=|A||