无限循环群与任何循环群满同态

是循环群,生成元是3、5.先把乘法表做出来,然后检验得到：数字3、5分别与各自自身多次做模7的乘法（幂）,可以得到群里所有的元素.从这个案例,可见循环群生成元不唯一.

5/9再问：那么0.73的循环呢?再答：11/15

循环群就两类,一类与（Z,+）同构,一类与（Zm,+）同构.这个性质一般书上都有介绍吧,用反证法很容易导出矛盾的.这个性质成立的情况下,lz的命题自然成立了.(Zm,+)就是整数关于m的余数的等价类构

显然中心Z(G)是G的一个正规子群,如果G/Z(G)是循环群,且则G/Z(G)=时：令xH,yH属于,且xH=的s次方,yH=的t次方,则xH=a的s次方*H,yH=a的t次方*H,所以有p属于H和q

有限群的子群的阶数是母群的因子,6的因子有{1,2,3,6},故有4个子群,分别是,{e},即单位元群,e=a^0,{e,a3}{e,a2,a4}{e,a1,a2,a3,a4,a5}(不理解请追问)再

(1）G有4个生成元,分别为a,a^3,a^7,a^9.(2）非平凡的子群共有2个,分别为:A1=={e,a^2,a^4,a^6,a^8},A2=={e,a^5}A1的左陪集分解为:{e,a^2,a^

1^(1/q)的解不唯一若x=1^(1/q)则x^q=1h也是上式的根(1/q)的结果不是映射,不是一个合理的运算

线性空间之间的同态就是保持线性运算的映射.线性空间之间的同构就是保持线性运算的双射.再问：大神不理解啊。。映射是什么射到什么呢？在空间中直观来看怎么解释呢再答：线性空间A到B的同态就是A到B的线性映射

群,循环群,交换群,子群,元素的阶,逆元,共轭关系,正规化子,共轭子群,陪集,单群,P-群,中心,商群依次为：GroupCyclicgroupAbeliangroupSubgroupsTheorder

至少任意质数阶有限群都是循环群.再问：这个问题我已解决

证明：充分性：由数论(m,n)=1的充分必要条件是存在整数s、t使ms+nt=1,所以a=a^(ms+nt)=a^ms*(a^n)^t=a^ms这说明a^m可以生成a,又G=,所以G可以由a^m生成.

证明由拉格郎日定理可知,四阶群的元素的阶一定能整除群的阶4,故四阶群的元素的阶只能是1(幺元是唯一的1阶元),2,4,如果有一个元是4阶元,则该元自乘能生成群的所有元素,此时它是循环群,这个4阶元素是

应该是证明:存在G到F的满同态,当且仅当m|n.G=作为n阶循环群,其中的元素可表示为a^i,0≤i充分性:若m|n,可设n=mk.定义映射φ:G→F,φ(a^i)=b^i,0≤i由F=是m阶循环群,

任意12阶循环群同构于Z(12)设元素为{1,a,a^2,...a^11}其子群如下{1}{1,a^6}{1,a^4,a^8}{1,a^3,a^6,a^9}{1,a^2,a^4,a^6,a^8,a^1

证明3阶群必是循环群：设该群为G,则1∈G,令a∈G且a≠1,则由于ord(a)|ord(G)=3且ord(a)≠1,故ord(a)=3,因此G={1,a,a^2},G为循环群.证明在同构意义下4阶群

/>G有p^k阶元,但是它的任何真子群里元素的阶最大是p^(k-1),直和也是一样.找出Z2*Z3的一个生成元即可,比如(1,1)；Z2*Z2里的元素的阶最大是2,而Z4里有4阶元,也可以看第一题.<

设G=为循环群,f1、f2为其自同构群中的两个元素,则必有f1(a)=a^k1,f2(a)=a^k2,由同构的定义知f1(a^m)=a^(m*k1),f2(a^n)=a^(n*k2)任取g∈G,则必有

n阶循环群中的n表示这个循环群中有n个元素.φ(n)是Euler函数,表示集合{1,2,3,.n}中与n互素的元素的个数.比如φ(3)=2,φ(4)=2.当p为素数时,φ(p)=p-1.n阶循环群的自

判断同态主要看两个群之间存不存在一个同态满射（要证明是一个映射,并满足同态性）,如果这样的映射存在,则说这两个群同态.如果这个映射是一个双射（既是单射又是满射）,那么这个同态就称为同构.

有限群的子群的阶数是母群的因子,6的因子有{1,2,3},故有3个子群,分别是,{e},即单位元群,e=a^0,,即