矩阵A的转置等于A,A的k次方等于0,求证A=0

由于(E-A)(E+A+A²+...A的k-1次方)=(E+A+A²+...A的k-1次方)-(A+A²+...A的k次方)（注意抵消规律）=E-A的k次方=E-0=E所

数学公式这里不好写,所以就用图片了.

即证：(E-A)(E+A+A^2...+A^(k-1))=E左式展开=E*(E+A+A^2...+A^(k-1))-A*(E+A+A^2...+A^(k-1))=E-A^k当A^k=0时,左式=E

A是实矩阵就可以实矩阵是指A中元素都是实数不一定是对称矩阵.此时r(A^TA)=r(A)证明方法是用齐次线性方程组AX=0与A^TAX=0同解.A不一定是方阵,不一定可逆再问：如果换作A的伴随乘以A，

因为A^k=0所以(E-A)(E+A+A^2+...+A^(k-1))=E+A+A^2+...+A^(k-1)-A-A^2-...-A^(k-1)-A^k=E-A^k=E所以E-A可逆,且(E-A)^

(1-A)[1+A+A^2+A^3+...+A^(k-1)]=1+A+A^2+A^3+...+A^(k-1)-(A+A^2+A^3+...+A^k)=II-A的逆矩阵等于I+A+A的平方+...+A的

是的,因为|A*B|=|A||B|,所以|A^n|=|A*A^(n-1)|=|A||A^(n-1)|=...=|A|^n

（E--A）（E+A+A^2+A^3+...+A^(n--1))=E+A+A^2+A^3+...+A^(n--1)--A--A^2--A^3--.--A^n=E--A^n=E,因此E-A可逆,且（E-

等于.由性质(AB)^-1=B^-1A^-1知(A^4)^-1=A^-1A^-1A^-1A^-1=(A^-1)^4再问：请问老师我这个计算过程对吗？照此计算，A的逆是不是相当于把B的逆的第二行的-1倍

考虑(E-A)(E+A+A^2+A^3+...+A^(K-1))=E+A+A^2+A^(k-1)-A-A^2-A^3-...-A^k=E-A^k=E(因为已知A^k=0)所以E-A的可逆矩阵为E+A+

若B为n阶Hermite正定矩阵,则存在n阶矩阵A且A为下三角矩阵,使得B等于A乘以A的共轭转置.放在实数域内就是A乘以A的转置矩阵了,其实这就是所谓矩阵的Cholesky分解.

设a是A的特征值则a^k是A^k的特征值(定理)而A^k=0,零矩阵的特征值只能是0所以a^k=0所以a=0即A的特征值只能是0.

因为(E+A)[E-A+A^2-A^3+.+(-1)^(k-1)A^(k-1)]=E-A+A^2-A^3+.+(-1)^(k-1)A^(k-1)+A-A^2+A^3+.+(-1)^(k-1)A^k=E

设a1,...,an是A的特征值则a1^k,...,an^k是A^k的特征值(定理结论)所以tr(A^k)=a1^k+...+an^k.(定理)

这个不一定.根据你给的条件只能说明A的若当型中都是形如的若当块,并且最大的若当块是k阶的,也就是说A的秩最小是k-1多少不一定.

Aa=xa,x为A的特征值A^Ka=A*A*A*.A(k个A)a=A*A*A*.A(k-1个A)Aa=A^(k-1)Aa=A^(k-1)xa=A^(k-2)xxa=.=x^ka所以得证

因为(E+A)(E--A+A^2--A^3+.+(--1)^(k--1)A^(k--1))=E+(--1)^(k--1)A^k=E,第一个等号是你按照分配率乘开后发现中间的项全消掉了.因此E+A可逆,

根据|AB|=|A||B|得到|A^k|=|A|^k=0所以|A|=0,所以不可逆

A可对角化的充要条件是A的极小多项式没有重根这里A的极小多项式一定是x^n-1的因子,显然无重根

不对A=0100A^2=0