设f(x)在[-π,π]上连续,且f(x)=x 1 cosx 求f(x)

f(0)=f(x)+f'(x)(0-x)+0.5f''(a)(0-x)^2f(1)=f(x)+f'(x)(1-x)+0.5f''(b)(1-x)^2两式相减,移项,取绝对值得|f'(x)|=|f(1)

对定积分换元t＝π-x,则原积分∫【0,π】f(1+cosx)dx＝∫【0,π】f(1-cost)dt,因为f(1+cosx)＝=f(1-cosx),所以∫【0,π】f(1+cosx)dx＝∫【0,π

令g(x)=f'(x)sin(x)+f(x)cox(x),只需证明存在一点y使得g(y)=0即可.观察g(x)=(f(x)sinx)'由于f(0)sin0=0,f(π)sinπ=0,根据rolls定理

F(x)=∫(0->x)tf(cost)dtF(-x)=∫(0->-x)tf(cost)dtlety=-tdy=-dtt=0,y=0t=-x,y=xF(-x)=∫(0->-x)tf(cost)dt=∫

f(0)f(1)

证明：由微分中值定理f(x)-f(0)=f'(xo)(x-0)=f'(xo)x,其中x∈(0,a)即:f(x)=f'(xo)x,那么,|f(x)|=|f'(xo)|x≤Mx上式在[0,a]上积分有∫(

F'(x)=【f(x)(x－a)－∫(a,x)f(t)dt】/(x－a)^2＝【f(x)(x－a)－f(t0)(x－a)】/(x－a)^2＝【f(x)－f(t0)】/(x－a)

d【∫f(x)dx】=f(X),考的是定义.比如：f(x)=x∫f（x）dx=x^2/2+C,d【∫f（x）dx】=x=f(x)这是在考定义.再问：Ϊɶ���ǵ���f��x��dx?再答：�����

因为x^2是偶函数,而f(x)-f(-x)是奇函数,所以x^2[f(x)-f(-x)]是奇函数由偶倍奇零,得原式=0

令F(x)=(积分(从0到x)f(t)dt)^2-积分(从0到x)f(t)^2dt,00,g(x)严格递增.故g(x)>g(0)=0,于是F'(x)=f(x)*g(x)>0.故F(x)递增,故F(1)

设g(x)=f(x)*sinxg(x)在[0,π]上连续,(0,π)内可导根据微分中值定理,存在ξ∈(0,π),g'(ξ)=[g(π)-g(0)]/(π-0)=0g'(ξ)=f'(ξ)sinξ+f(ξ

设g（x）=f（x）-arctanx,则g（0）=g（1）=0,存在0

作个变换即可.看下图

∫(0→π)f''(x)sinxdx=∫(0→π)sinxd(f'(x))=sinxf'(x)|(0→π)-∫(0→π)f'(x)cosxdx=-∫(0→π)cosxd(f(x))=-cosxf(x)

令y=π/2-x,则x=π/2-y∫（π/2~0)f(cosx)dx=∫（0~π/2)f(cos(π/2-y))d(π/2-y)=∫（0~π/2)-f(siny)dy=-∫（0~π/2)f(siny)

设|f(c)|＝max|f(x)|.首先有|f(x)^n|0,当x满足|x－c|=[积分(从c－d到c+d)|f(x)^n|dx]^(1/n)>=[积分(从c－d到c+d)(M－e)^ndx]^(1/

令g(x)=f(x)sinx,则g(0)=g(π)=0,所以根据罗尔定理,存在ξ属于(0,π),使得g'(ξ)=0,而g'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx,代人即得要证明的等式.

求出F’（x）,只要F’（x）>0,则得到F（x）在（a,b】上是单调增加的求得F’（x）=[f’（x）*（x-a）-f（x）+f（a）]/（x-a）^2,则F’（x）的符号由分子决定令分子是G（x）

证明：令k=[pf(c)+qf(d)]/(p+q)无妨设f(c)≤f(d),由于q是正数,所以qf(c)≤qf(d)pf(c)+qf(c)≤pf(c)+qf(d)(p+q)f(c)≤pf(c)+qf(