设线性无关,证明β1=α1 α2 α3,β2=α1-α2,β3=α3线性无关

证:由已知,α1,α2,α3,α4线性相关所以存在一组不全为0的数k1,k2,k3,k4,使得k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0.(下证k1,k2,k3,k4全不为0)假设k1=0.则k2α2

这个不要反证,直接证明就可以了.证明:设k1α1+k2(α1+α2)+k3(α1+α2+α3)=0.则（k1+k2+k3)α1+(k2+k3)α2+k3α3=0因为α1,α2,α3线性无关所以k1+k

假设α1+α2、α1-α2线性相关则存在不为0的常数b使得α1+α2=b（α1-α2）所以α1+α2=bα1-bα2因为α1,α2线性无关所以α1,α2的系数分别对应相等b=1,-b=1所以b不存在,

为了方便我用a代表alpha,b代表beta设有k0b+k1(b+a1)+k2(b+a2)+……+kr(b+ar)=0则有(k0+k1+k2……+kr)b+k1a1+k2a2+……+krar=0（2）

(1)k1a1+k2a2+...+krar=0任意一项移到方程右边k1a1+krar=kiai若ki=0因为其余r-1个线性无关所以其余系数都为0即全为0(2)任意r-1个向量都线性无关,则任意s(s

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

设有数k1,k2,k3满足等式：k1(ā1-ā2-ā3)+k2(,ā2-ā3)+k3ā3=0则有k1α1+(k2-k1)a2+(k3-k2)a3=0,由于向量组a1ā2ā3线性无关,所以有k1=0,k

只须证明它们能互相线性表示即可.显然a1+a1,a1-a2能用a1、a2线性表示；同时,a1=[(a1+a2)+(a1-a1)]/2,a2=[(a1+a2)-(a1-a2)]/2,所以a1+a2、a1

由已知(β1,β2...βn)=(α1,α2,.αn)KK=100...1110...0011...0.000...1因为α1,α2,.αn线性无关所以r(β1,β2...βn)=r(K)因为|K|=

这个常规做法是设这个向量组的一个线性组合等于0推出组合系数都等于0也可以这样(α,α+β,α+β+γ)=(α,β,γ)KK=111011001因为|K|=1,K可逆所以r(α,α+β,α+β+γ)=r

本体有特殊性,可以写出从α到β的系数行列式,由于α是线性无关的,故只需要系数行列式不为零,β就无关,否则相关.再问：首先谢谢哈其次再问一下给的向量组是无关的那么系数行列式不等0β就无关那要是给的向量组

A=（α1,α2,α3）B=（α1+α3,α2+α3,α3）则B=AKK=100010111｜K｜=1,所以K可逆,从而A与B的秩相等因为α1,α2,α3线性无关,所以A的秩为3从而B的秩也为3,从而

设向量为列向量,若n维向量β与每个αi都正交,那么αi'*β=0（αi'表示αi的转置）即α1'*β=0α2'*β=0...αn'*β=0令矩阵A为以αi'为行的n阶方阵,i=1,2,3...n所以得

设b1=a1-a2-2a3,b2=a2-a3,b3=a3,因此b1、b2、b3可以用a1、a2、a3线性表出,而a3=b3,a2=(a2-a3)+a3=b2+b3,a1=(a1-a2-2a3)+(a2

证明:(α1,α2,α3)=231221723-141r1-r2,r3-3r2+r4交换行-141010001221所以r(α1,α2,α3)=3即α1,α2,α3线性无关

由于向量组α1,α2,…,αn线性无关,故k1α1+k2α2+...+knαn=0,则k1=k2=.=kn=0,又因为β,α1,α2,…,αn线性相关,有kβ+r1α1+r2α2+.+rnαn=0,且

反证假如α1+α2,α1-α2也线性相关则存在不全为0的k1k2使得k1（a1+a2）+k2（a1-a2）=0（k1+k2）a1+（k1-k2）a2=0因为k1k2不全为0,所以（k1+k2）和（k1

要证明α1+α2,α2+α3,α3+α1线性无关只需证明[α1+α2,α2+α3,α3+α1]的秩为3.这是我的一种证法,希望对你有帮助,祝学习愉快

证明：因为α1α2β1β2均是3维列向量,且α1α2线性无关,β1β2线性无关所以,一定存在α3和β3,使得{α1 α2 α3}和{β1 β2 β3}各自都构成

答:α1,α2,α3,β线性无关.设k1α1+k2α2+k3α3+kβ=0等式两边对β取内积,由已知(αi,β)=0,得k(β,β)=0又由β≠0,故(β,β)≠0,所以k=0所以k1α1+k2α2+