sin(π 6-x)＝1 3

（Ⅰ）f(x)=sin(x+π6)-cos(x+π3)+cosx=32sinx+12cosx-（12cosx-32sinx）+cosx=3sinx+cosx=2sin（x+π6），∵ω=1，∴T=2π

（Ⅰ）∵sin(2x+π6)=sin2xcosπ6+cos2xsinπ6，sin(2x−π6)=sin2xcosπ6−cos2xsinπ6，cos2x=12(cos2x+1)∴f(x)＝sin(2x+

由于f（3α+π2）=2sinα=1013，∴sinα=513，再由α∈[0，π2]，可得cosα=1213．再由f（3β+2π）=2sin（β+π2）=2cosβ=65，∴cosβ=35，再由β∈[

在同一个坐标系中作出y=sinπx和y=14x的图象，如图所示：由于y=sinπx和y=14x的图象在[-4，4]上有7个交点，而当x＜-4，或 x＞4时，两个曲线不会有交点，方程sinπx

sin(PI/6+2x)=cos(PI/2-PI/6-2x)=cos(PI/3-2x)=cos(2*(PI/6-x))=1-2*sin(PI/6-x)^2=1-2*(1/4)^2=7/8tan70*c

2sinπ/6x=1-cosπ/3xf（x）=2sinπ/6x+sin（π/3x+π/6）—1=（1-cosπ/3x)+sinπ/3xcosπ/6+cosπ/3xsinπ/6-1=√3/2sinπx/

（1）∵f(x)＝sin(2x+π6)+sin(2x−π6)+2cos2x=sin2xcosπ6+cos2xsinπ6+sin2xcosπ6−cos2xsinπ6+2cos2x+1=3sin2x+co

（1）∵f（x）=sin（2x-π6），∴最小正周期T=2π2=π；…（3分）f（0）=sin（-π6）=-12，…（6分）（3）由f（α+π3）=35得sin（2α+π2）=35，…（7分），∴co

y＝sin(x+π3)sin(x+π2)＝(sinxcosπ3+cosxsinπ3)cosx=12sinxcosx+32cos2x＝14sin2x+32•1+cos2x2=34+12sin(2x+π3

（1）f(0)＝2sin(−π6)＝−1…（3分）（2）f(3α+π2)＝2sin[13(3α+π2)−π6]＝2sinα＝1013，即sinα＝513…（5分）f(3β+2π)＝2sin[13(3β

sin(x+π/6)=1/3sin(5π/6-x)=sin[π-(x+π/6)]=1/3sin^2(π/3-x)=sin^2[π/2-(x+π/6)]=cos^2(x+π/6)=1-sin^2(x+π

f(x)=√3sin(2x-π/6)+2sin^2(x-π/12)=√3sin(2x-π/6)-cos(2x-π/6)+1=2sin[(2x-π/6)-π/6]+1=2sin(2x-π/3)+1(1)

sin（x+11π/6）=sin(x+2π-π/6),因为2π是一个周期,可以消去,于是得到答案sin（x-π/6）

令2kπ-π2≤2x-π6≤2kπ+π2，k∈z，解得kπ-π6≤x≤kπ+π3，故函数y＝2sin(2x−π6)的单调递增区间是[kπ-π6，kπ+π3]，k∈z，故答案为[kπ-π6，kπ+π3]

把函数y＝sin(2x−π6)的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到函数y=sin（2（x-π12+φ））的图象，因为函数y=sin（2（x-π12+φ））为奇函数，故-π12+φ=kπ，故φ的最小值是

y＝32sin2x+12cos2x+12cos2x−32sin2x＝cos2x．所以函数的最大值为1故答案为：1

∵0≤x≤π2，∴π6≤x+π6≤2π3；∴当x+π6=π2时，函数取得最大值是y=sin（x+π6）=1；当x+π6=π6时，函数取得最小值是y=sin（x+π6）=12；∴函数y=sin（x+π6

∵sin(x+π6)＝14∴sin(x−5π6)+ sin2(π3−x)=sin[π−(x+π6)]+sin2[π2−( π6+x)]=sin(x+π6)+cos2(x+π6)=1

sin(7派/6X)=1/4,cos(11派/6-X)=(根号下15)/4,这两式相加等于(1根号15)/4

f(x)=sin(2x+π/6)-cos2x+1所以为2π/2=πf(x)=根号3/2sin2x-(cos2x)/2+1=sin(2x-π/6)+1所以最大值为2,x=π/2+2kπ-π/6=π/3+