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已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/29 02:21:09
已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：
①x1、x2、x1-x2是定义域中的数时,有f(x1-x2)=
f(x1)f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0,a是定义域中的一个数）；
③当0＜x＜2a时,f（x）＜0．
（1）判断f（x1-x2）与f（x2-x1）之间的关系,并推断函数f（x）的奇偶性；
（2）判断函数f（x）在（0,2a）上的单调性,并证明；
（3）当函数f（x）的定义域为（-4a,0）∪（0,4a）时,
①求f（2a）的值；②求不等式f（x-4）＜0的解集．
已知函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件：
（1）不妨令x=x1-x2,则f(-x)=f(x2-x1)=
f(x2)f(x1)+1
f(x1)-f(x2)
=-
f(x1)f(x2)+1
f(x2)-f(x1)
=-f（x1-x2）=-f（x）,
∴f（x）是奇函数；
（2）在（0,2a）上任取两个实数x1、x2,
且x1＜x2,则有f(x1)-f(x2)=
f(x2)f(x1)+1
f(x2-x1)
,
∵0＜x＜2a时,f（x）＜0,
∴f（x2）＜0且f（x1）＜0,
故f（x2）f（x1）＞0,
即f（x2）f（x1）+1＞0；
∵0＜x1＜2a,0＜x2＜2a且x1＜x2,∴0＜x2-x1＜2a,
即有f（x2-x1）＜0；
∴f（x1）-f（x2）＜0,
即f（x1）＜f（x2）,
∴f（x）在（0,2a）上是增函数；
（3）①由题意可得：f(2a)=f[a-(-a)]=
f(a)f(-a)+1
f(-a)-f(a)
=
1-f 2(a )
-2f(a)
=
1-1
2
=0,
②∵f（2a-x）=
f(2a )f(x )+1
f(x )-f(2a)
=
1
f(x)
,f（2a+x）=
f(2a )f(-x )+1
f(-x )-f(2a)
=
1
f(-x)
=-
1
f(x)
∴f（2a-x）=-f（2a+x）
∴函数关于（2a,0）对称
由（2）知f（x）在（0,2a）上是增函数；
∴f（x）在（2a,4a）上也是增函数,
∴f（x）在（0,4a）上是增函数；在（-4a,0）上也是增函数
当x-4∈（0,4a）时,f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（2a）⇔x-4＜2a,
∴0＜x-4＜2a,即4＜x＜2a+4
当x-4∈（-4a,0）时,f（x-4）＜0⇔f（x-4）＜f（-2a）⇔x-4＜-2a,
∴-4a＜x-4＜-2a,即4-4a＜x＜4-2a
所以不等式的解集是（4-4a,4-2a）∪（4,2a+4）．
已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足以下三个条件： 已知定义域为[0,1]的函数f（x）同时满足以下三个条件 （1）函数y=f(x)关于原点,x轴,y轴,直线y=x对称的函数分别为?(2)设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件 证明 已知函数f(x)的定义域关于原点对称 已知定义域为R的函数y=f(x)满足以下三个条件： 设函数f（x）的定义域关于原点对称,且满足①f（x1-x2）=[f（x1）f(x2)+1]/[f（ 已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足三个条件 已知f(x)是任意一个函数,且定义域在x轴上关于原点对称 已知函数f(x)的定义域是R.p:f(x)的图象关于原点对称,q:f(0)=0,则p是q的什么条件? 函数f(x)的定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数的__条件? 定义域关于原点对称的函数f（x）满足f（x1-x2）=[f（x1）-f（x2）]/[1+f(x1)f(x2)],判断f（ 已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：