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定义在R上的任一函数,总可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.

来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/03 20:31:51
定义在R上的任一函数,总可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.
这句话是对的.为什么?请具体说明一下,
定义在R上的任一函数,总可以表示成一个奇函数和一个偶函数的和.
这句话是对的.
设 y = f(x) 为一个在R上连续的任意函数.
则 :
y = f(x)
= [f(x) + f(-x) + f(x) - f(-x)]/2
= [f(x) + f(-x)]/2 + [f(x) - f(-x)]/2
令 g(x) = [f(x) + f(-x)]/2
g(-x) = [f(-x) + f(x)]/2 = g(x),g(x)为偶函数
令 h(x) = [f(x) - f(-x)]/2
h(-x) = [f(-x) - f(-x)]/2 = -h(x),h(x)为奇函数
所以：
y = g(x) + h(x)
证明完毕.
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