如图a、b在平行四边形ABCD中,∠BAD,∠ABC的平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线(或线段CD)相交于点F
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/08 00:54:16
如图a、b在平行四边形ABCD中,∠BAD,∠ABC的平分线AF,BG分别与线段CD两侧的延长线(或线段CD)相交于点F,G,AF与BG相交于点E.
(1)在图a中,求证:AF⊥BG,DF=CG;
(2)在图b中,仍有(1)中的AF⊥BG,DF=CG成立.请解答下面问题:
①若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长;
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件,使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形?若能,请写出所给条件;若不能,请说明理由.
(1)在图a中,求证:AF⊥BG,DF=CG;
(2)在图b中,仍有(1)中的AF⊥BG,DF=CG成立.请解答下面问题:
①若AB=10,AD=6,BG=4,求FG和AF的长;
②是否能给平行四边形ABCD的边和角各添加一个条件,使得点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形?若能,请写出所给条件;若不能,请说明理由.
(1)证明:如图:
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴AF⊥BG.
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠CBG,
又BG是∠ABC的角平分线,
∴∠ABG=∠CBG,
∴AB=AM,
又AB∥DC,
∴∠ABM=∠G,又∠AMB=∠GMD,
∴∠G=∠GMD,
∴DM=DG,即△GDM为等腰三角形,
同理可得△NCF为等腰三角形;
∵DF-CD=CG-CD,即DF=CG
(2) ①由已知可得,AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线,且CF=GD,
∴FD=AD=6,
∴CF=10-6=4=GD,
∴FG=FD-GD=6-4=2.
可得,Rt△EFG∽Rt△EAB,
∴
EG
BE=
FG
AB=
2
10,
∵BG=4,
∴GE=
2
3,BE=
10
3,
则在直角三角形EFG中,根据勾股定理得:EF=
FG2-EG2=
4
2
3,
在直角三角形ABE中,根据勾股定理得:AE=
AB2-BE2=
20
2
3,
勾股定理可得AF=EF+AE=8
2;
②AB=2AD,∠A=90°.
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形,
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴只能使其角为直角,即∠A=90°,
而由(1)、(2)可得,边长则需满足1:2的关系,即AB=2AD.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
又AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴∠BAE+∠ABE=90°,
∴AF⊥BG.
∵AD∥BC,∴∠AMB=∠CBG,
又BG是∠ABC的角平分线,
∴∠ABG=∠CBG,
∴AB=AM,
又AB∥DC,
∴∠ABM=∠G,又∠AMB=∠GMD,
∴∠G=∠GMD,
∴DM=DG,即△GDM为等腰三角形,
同理可得△NCF为等腰三角形;
∵DF-CD=CG-CD,即DF=CG
(2) ①由已知可得,AF、BG仍是∠BAD与∠ABC的角平分线,且CF=GD,
∴FD=AD=6,
∴CF=10-6=4=GD,
∴FG=FD-GD=6-4=2.
可得,Rt△EFG∽Rt△EAB,
∴
EG
BE=
FG
AB=
2
10,
∵BG=4,
∴GE=
2
3,BE=
10
3,
则在直角三角形EFG中,根据勾股定理得:EF=
FG2-EG2=
4
2
3,
在直角三角形ABE中,根据勾股定理得:AE=
AB2-BE2=
20
2
3,
勾股定理可得AF=EF+AE=8
2;
②AB=2AD,∠A=90°.
若使点E恰好落在CD边上且△ABE为等腰三角形,
∵AF、BG是∠BAD与∠ABC的角平分线,
∴只能使其角为直角,即∠A=90°,
而由(1)、(2)可得,边长则需满足1:2的关系,即AB=2AD.
如图,在平行四边形ABCD中,角BAD,角ABC的平分线AF,BG与CD两侧的延长线分别相交与F,G,AF与BG相交与E
如图,在四边形ABCD中,AB平行CD,点E为BC边的中点,∠BAE=∠EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段
在平行四边形ABCD中,G、E分别是AD、CD的中点,连接BG、AE,BG与CD的延长线相交于点F,BG与AE相交于点H
如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC与∠BCD的平分线相交于点O、BO与CD的延长线相交于点E、那么OB与OE相等么?
如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF与DE相交于点G,CE与BF相交于点H.
1:如图(附件)在平行四边形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥A
已知,如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别为边AD、CD上的点,且AF=CE,AF与CE相交于G.求证:GB平分∠A
如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADE的平分线交AB于点F,试判断AF与CE是否相等
如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试判断AF与CE是否相等,并说
已知:如图,在平行四边形ABCD中,点E.F分别是AB.CD的中点,CE.AF与对角线BD分别相交于点G.H
如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,AF于DE相交于点G,CE于BF相交于点H.
如图,在平行四边形ABCD中,已知∠BAD的平分线与BC边相交于点E,∠ABC的平分线与AD边相交于点F,AE与BF相交