已知f(x)的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/30 00:49:22
已知f(x)的一个原函数为sinx/x,求xf'(2x)的积分
记F(x)=sinx/x
由于lim(x--0) sinx/x =1,F在R上有定义,取F(0)=1
下证F在0处可导,用洛必达法则(泰勒公式)可得
lim(x--0) (F(x)-F(0))/(x-0) =lim(x--0) (sinx/x-1)/x = lim(x--0) (sinx-x)/x^2
=lim(x--0) (cosx-1)/2x =lim(x--0) (-sinx/2) =0
即F'(0)=0=f(0)
当x不为0时,
f(x)=F'(x)=cosx/x-sinx/x^2
又 再用洛必达法则有
lim(x--0) f(x) =lim(x--0) (xcosx-sinx)/x^2 =lim(x--0) (-xsinx)/2x =0
因此f可以记作 f(x)=cosx/x-sinx/x^2 x在R上取值
以上lim(x--0)表示x趋于0时的极限
由分部积分法,注意到f'(2x)的一个原函数为f(2x)/2,有
/ xf'(2x)dx=xf(2x)/2- / (f(2x)/2)dx
=xf(2x)/2- / (f(2x)/4)d(2x)
=xf(2x)/2- F(2x)/4 +c
=cos2x/4-sin2x/8x-sin2x/8x +c
=cos2x/4-sin2x/4x +c,其中c为任意常数
以上 /...dx表示求原函数
由于lim(x--0) sinx/x =1,F在R上有定义,取F(0)=1
下证F在0处可导,用洛必达法则(泰勒公式)可得
lim(x--0) (F(x)-F(0))/(x-0) =lim(x--0) (sinx/x-1)/x = lim(x--0) (sinx-x)/x^2
=lim(x--0) (cosx-1)/2x =lim(x--0) (-sinx/2) =0
即F'(0)=0=f(0)
当x不为0时,
f(x)=F'(x)=cosx/x-sinx/x^2
又 再用洛必达法则有
lim(x--0) f(x) =lim(x--0) (xcosx-sinx)/x^2 =lim(x--0) (-xsinx)/2x =0
因此f可以记作 f(x)=cosx/x-sinx/x^2 x在R上取值
以上lim(x--0)表示x趋于0时的极限
由分部积分法,注意到f'(2x)的一个原函数为f(2x)/2,有
/ xf'(2x)dx=xf(2x)/2- / (f(2x)/2)dx
=xf(2x)/2- / (f(2x)/4)d(2x)
=xf(2x)/2- F(2x)/4 +c
=cos2x/4-sin2x/8x-sin2x/8x +c
=cos2x/4-sin2x/4x +c,其中c为任意常数
以上 /...dx表示求原函数
已知f(x)的一个原函数为sinx/x.求∫xf'(x)dx.
已知f(x)的一个原函数为(1-sinx)lnx,求∫xf'(x)dx
设函数f(x)的一个原函数为sinx/x,求∫xf'(x)dx
已知sinx/x是f(x)的原函数,求∫xf'(x)dx,
已知f(x)的一个原函数为sinx/x ,证明∫xf'(x)dx=cosx-2sinx/x+c 怎么证明
已知f(x)的一个原函数是(sinx)ln x ,求∫ (π,1)xf ' (x) dx
已f(x)的一个原函数为e^-x,求xf'(2x)dx的积分
已知 f(x)的一个原函数为(lnx)^2,求∫xf'(x)dx
设f(x)的一个原函数为sinx,则∫xf'(x)dx=()
已知f(x)的一个原函数为e^(x^2),求∫xf'(2x)dx
已知f(x)的一个原函数为cosx/x,求∫xf('x)dx
已知sinx/x是f(x)的原函数,则 ∫xf'(x)dx为多少,