设f（x）=（x2+ax+a）e-x，x∈R．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/03 00:38:51

设f（x）=（x²+ax+a）e^-x，x∈R．
（Ⅰ）确定a的值，使f（x）的极小值为0；
（ II）证明：当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．

（Ⅰ）由于f（x）=（x²+ax+a）e^-x，所以f'（x）=（2x+a）e^-x-（x²+ax+a）e^-x=-e^-x[x²+（a-2）x]．…（2分）
令f'（x）=0解得x=0或x=2-a，
当a=2时，f'（x）≤0恒成立，此时f（x）无极值．
所以2-a≠0．
①当2-a＞0，即a＜2时，f'（x）和f（x）2的变化情况如下表1：
x （-∞，0） 0 （0，2-a） 2-a （2-a，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘此时应有f（0）=0，所以a=0＜2；
②当2-a＜0，即a＞2时，f'（x）和f（x）的变化情况如下表2：
x （-∞，2-a） 2-a （2-a，0） 0 （0，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘此时应有f（2-a）=0，即[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=0，
而e^a-2≠0，所以应有（2-a）²+a（2-a）+a=0⇒a=4＞2．
综上可知，当a=0或4时，f（x）的极小值为0．…（6分）
（ II）若a＜2，则由表1可知，应有f（2-a）=3，也就是[（2-a）²+a（2-a）+a]e^a-2=3，即（4-a）e^a-2=3．
设g（a）=（4-a）e^a-2，则g'（a）=-e^a-2+（4-a）e^a-2=e^a-2（3-a）．
由于a＜2得 g'（a）＞0，从而有g（a）＜g（2）=2＜3．
所以方程（4-a）e^a-2=3无解．…（8分）
若a＞2，则由表2可知，应有f（0）=3，即a=3．…（10分）
综上可知，当且仅当a=3时，f（x）的极大值为3．…（12分）

设a∈R,函数f（x）=(x^2-ax-a)e^x. 已知f（x）=（x2+ax+a）e-x（a≤2，x∈R）．已知a∈R，函数f（x）=（-x2+ax）e-x（x∈R，e为自然对数的底数）．设a为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R求f（x）最小值设a∈R 求函数f（x）=e^-x(a+ax-x²)（e为自然对数的底数）的单调区间与极值设f（x）=x2+ax是R上的偶函数．已知函数f（x）=x2+ax（x≠0，a∈R）已知函数f（x）=x2-lnx-ax，a∈R．已知函数f（x）=lnx+x2-ax，a∈R．设函数f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．设函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax.(a∈R）设a∈R，函数f（x）=ax3-3x2．