求∫根号下（2ax-x²）dx

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 23:20:49

求∫根号下（2ax-x²）dx

∫ √(2ax - x²) dx
= ∫ √[a² - (x - a)²] dx
令x - a = asinz,dx = acosz dz
= ∫ |acosz|(acosz) dz
= a²∫ cos²z dz
= (a²/2)∫ (1 + cos2z) dz
= (a²/2)z + (a²/2)sinzcosz + C
= (a²/2)arcsin[(x - a)/a] + (a²/2)[(x - a)/a][√(2ax - x²)/a] + C
= (a²/2)arcsin(x/a - 1) + (1/2)(x - a)√(2ax - x²) + C
再问：其实我想问的是球体表面积可不可以用∫ 2πydx(从0到2a）y²+(x-a)²=a²
再答：可以。 y² + (x - a)² = a² y = √[a² - √(x - a²)] = √(2ax - x²) 球截面周长 = 2π√(2ax - x²) 球表面积 = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πy dx，这个积分的求法如上
再问：希望你把详细过程推导一遍非常感谢
再答：额，这个推导网上不是有许多资源吗？看看就会了，很简单基本概念是从圆周开始，然后不断累加为球体表面积的。球体体积的推导也是同样原理。
再问：好像最后结果不等于4πr² 是不是你刚才的不定积分错了
再答：倒给你提醒了，这推导的过程应该用弧微分方法求才是的。最初就以为只求那么简单的不定积分... y = √(2ax - x²)，(y')² = (a - x)²/(2ax - x²) dS = √[1 + (y')²] dx = √[1 + (a - x)²/(2ax - x²)] dx = a/√(2ax - x²) dx 表面积A = ∫(0→2a) 2πy dS = ∫(0→2a) 2π√(2ax - x²) * a/√(2ax - x²) dx = ∫(0→2a) 2πa dx = 4πa²

求积分 ∫根号下（x^2+1）dx 求不定积分dx/（x*根号下（1-x^2）) 求∫(sin根号下x) dx 求不定积分x ∫（1-x^2）/x根号下x dx 求不定积分∫根号下(x^2-a^2) dx 求不定积分∫dx/根号下(1-2x^2), 求不定积分∫根号下（4X^2+1)dx ∫dx/根号下（4x^2+9）和∫x/根号下（x-3）dx 这两个怎么求? ∫x*arctanx／（根号下（1+x^2））dx怎么求高数题 ∫上-2下-3 dx/x²乘以根号下（x²-1）求定积分∫(上限1,下限1/根号2) 根号下(1-x²)/x² dx 求定积分∫(上限根号3,下限1) 1/x²根号下（1+x²） dx