求计算欧拉积分∫e∧(-x²)dx的详细过程.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/25 10:15:54
求计算欧拉积分∫e∧(-x²)dx的详细过程.
![求计算欧拉积分∫e∧(-x²)dx的详细过程.](/uploads/image/z/16486131-3-1.jpg?t=%E6%B1%82%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%AC%A7%E6%8B%89%E7%A7%AF%E5%88%86%E2%88%ABe%E2%88%A7%EF%BC%88-x%26%23178%3B%EF%BC%89dx%E7%9A%84%E8%AF%A6%E7%BB%86%E8%BF%87%E7%A8%8B.)
还有上下限-∞到+∞:利用二重积分方法
K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
K² = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx * ∫(-∞→+∞) e^(- y²) dy
= ∫(-∞→+∞) ∫(-∞→+∞) e^(- x² - y²) dxdy,极坐标换元
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r²) * r dr
= 2π * (- 1/2)[e^(- r²)]:(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π
于是得K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx = √π
K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx
K² = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx * ∫(-∞→+∞) e^(- y²) dy
= ∫(-∞→+∞) ∫(-∞→+∞) e^(- x² - y²) dxdy,极坐标换元
= ∫(0→2π) dθ ∫(0→+∞) e^(- r²) * r dr
= 2π * (- 1/2)[e^(- r²)]:(0→+∞)
= 2π * (- 1/2)(0 - 1)
= π
于是得K = ∫(-∞→+∞) e^(- x²) dx = √π
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