搜狗做题网求解一道几何+积分题吧 要具体的过程
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 22:15:21
求解一道几何+积分题吧 要具体的过程
在缠绕的过程中,绳子保持拉直的话,必定和圆是相切的
圆心设为A,切点设为B,绳子端点为C,连接AB,设OAB=θ
那么绕在圆上面的绳子长度为aθ
剩下的绳子长度是aπ-aθ
绳子这时候和水平线的夹角也是θ
有向量OA=(0,a)
向量AB=(asinθ,-acosθ)
向量BC=((aπ-aθ)cosθ,(aπ-aθ)sinθ)
所以向量OC=OA+AB+BC=(asinθ+(aπ-aθ)cosθ,a-acosθ+(aπ-aθ)sinθ)
所以轨迹的参数方程是
x=asinθ+(aπ-aθ)cosθ
y=a-acosθ+(aπ-aθ)sinθ
x’(θ)=acosθ-(aπ-aθ)sinθ-acosθ=-(aπ-aθ)sinθ
y’(θ)=asinθ+(aπ-aθ)cosθ-asinθ=(aπ-aθ)cosθ
下面就是曲线积分啦
L=∫√(x‘(θ)²+y'(θ)²)dθ(θ从0到π/2)
=∫(aπ-aθ)dθ(θ从0到π/2)
=|aπθ-aθ²/2|(θ下限是0,上限是π/2)
=aπ²/2-aπ²/8=3aπ²/8
画图的话可以看出来
dx/dθ=-(aπ-aθ)sinθ
dy/dθ=(aπ-aθ)cosθ
不过太难解释了,结合图形直观比较容易理解,关键还是后面的曲线积分
检查下我算没算错啊,我计算比较差
再问： θ的范围不应该是0-2π么
再答： 题目不中不是说了只考虑，四分之一圆周么
再问： 。。。。第一象限不是半个圆么 我打错了 不是应该0-π么 有图啊
再答： 囧是第一象限的意思么，我以为最后一句是四分之一圆周的意思，英语不好，见谅啊 如果是半圆的话，上限应该是π =|aπθ-aθ²/2|(θ下限是0，上限是π) =aπ²-aπ²/2=aπ²/2 结果应该是这个，有答案么，我没算错吧
圆心设为A,切点设为B,绳子端点为C,连接AB,设OAB=θ
那么绕在圆上面的绳子长度为aθ
剩下的绳子长度是aπ-aθ
绳子这时候和水平线的夹角也是θ
有向量OA=(0,a)
向量AB=(asinθ,-acosθ)
向量BC=((aπ-aθ)cosθ,(aπ-aθ)sinθ)
所以向量OC=OA+AB+BC=(asinθ+(aπ-aθ)cosθ,a-acosθ+(aπ-aθ)sinθ)
所以轨迹的参数方程是
x=asinθ+(aπ-aθ)cosθ
y=a-acosθ+(aπ-aθ)sinθ
x’(θ)=acosθ-(aπ-aθ)sinθ-acosθ=-(aπ-aθ)sinθ
y’(θ)=asinθ+(aπ-aθ)cosθ-asinθ=(aπ-aθ)cosθ
下面就是曲线积分啦
L=∫√(x‘(θ)²+y'(θ)²)dθ(θ从0到π/2)
=∫(aπ-aθ)dθ(θ从0到π/2)
=|aπθ-aθ²/2|(θ下限是0,上限是π/2)
=aπ²/2-aπ²/8=3aπ²/8
画图的话可以看出来
dx/dθ=-(aπ-aθ)sinθ
dy/dθ=(aπ-aθ)cosθ
不过太难解释了,结合图形直观比较容易理解,关键还是后面的曲线积分
检查下我算没算错啊,我计算比较差
再问： θ的范围不应该是0-2π么
再答： 题目不中不是说了只考虑，四分之一圆周么
再问： 。。。。第一象限不是半个圆么 我打错了 不是应该0-π么 有图啊
再答： 囧是第一象限的意思么，我以为最后一句是四分之一圆周的意思，英语不好，见谅啊 如果是半圆的话，上限应该是π =|aπθ-aθ²/2|(θ下限是0，上限是π) =aπ²-aπ²/2=aπ²/2 结果应该是这个，有答案么，我没算错吧