数列Cn满足Cn^3+Cn/3n=1,求证Cn是单调递增数列

数列Cn满足Cn^3+Cn/3n=1,求证Cn是单调递增数列

cn=y n=x
y^3+y/3x=1 x>=1 x=1,2,3.
两边求导数.
3y^2y'+(3y'x-3y)/(3x^2)=0
3y^2x^2y'+y'x-y=0
y'=y/(3y^2x^2+x)
由于(y^3+y/(3x)=1
y(y^2+1/(3x))=1
y^2+1/(3x)>0 这里y^2>=0 x>1
所以y>0
所以y'=y/(3y^2x^2+x)>0 其中x>0 y>0
所以隐函数y^3+y/3x=1是增函数.即x>=1时,y随x增大而增大.
所以：Cn^3+Cn/3n=1中,n>=1时,Cn是单调递增数列
再问： 导数是什么 我还是高一啊
再答： 那就这么做： 只要C(n+1)>Cn，即可 Cn^3+Cn/3n=1 3n(Cn^3)+Cn=3n (3n+3)C(n+1)^3+C(n+1)=3n+3 相减： 3n[C(n+1)-Cn][C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2]+3C(n+1)^3+C(n+1)-Cn=3 [C(n+1)-Cn][3n(C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2)+1]=3(1-C(n+1)^3) [C(n+1)-Cn]=3(1-C(n+1)^3)/[3n(C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2)+1] 我之前已证明Cn>0 分母>0 只需分子>0 只需1>C(n+1) 由于Cn^3+Cn/3n=1 Cn/3n=1-Cn^3=(1-Cn)(1+Cn+Cn^2) 1-Cn=Cn/[3n(1+Cn+Cn^2)] 右边，Cn>0 分子分母都大于0 所以1-Cn=Cn/[3n(1+Cn+Cn^2)] >0 1>Cn 自然1>C(n+1)也成立。 所以：C（n+1)>Cn 所以是递增的。
再答： Cn^3+Cn/3n=1,求证Cn是单调递增数列 只需c(n+1)>Cn即可. C(n+1)^3+C(n+1)/3(n+1)=1 3(n+1)C(n+1)^3+C(n+1)=3(n+1) 3nCn^3+Cn=3n 相减: 3n*(C(n+1)-Cn)(Cn+1^2+c(n+1)Cn+Cn^2)+3C(n+1)^3+C(n+1)-C(n)=3 (C(n+1)-Cn)(3n*(C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2)+1)=3(1-C(n+1)^3) (C(n+1)-Cn)=3(1-C(n+1)^3)/(3n*(C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2)+1) 由于3nCn^3+Cn=3n Cn=3n/(3nCn^2+1)>0 同时,3nCn^3-3n=-Cn 3n(Cn^3-1)=-Cn Cn^3-1=-Cn/3n0 所以:1-C(n+1)^3>0 所以:(C(n+1)-Cn)=3(1-C(n+1)^3)/(3n*(C(n+1)^2+C(n+1)Cn+Cn^2)+1) 分子分母都大于0 C(n+1)-Cn>0 C(n+1)>Cn 所以递增.