搜狗做题网这是一个高中数学问题：北京
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/06/17 15:02:56
这是一个高中数学问题：北京
在各项为正的数列中,数列的前n项和s‹n›满足s‹n›=1/2(a‹n›+1/a‹n›)
（1）求a₁,a₂,a₃；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3）求s‹n›
a₁=S₁=(1/2)(a₁+1/a₁)=(1/2)(a₁²+1)/a₁
故2a₁²=a₁²+1,∴a₁=1.
S₂=a₁+a₂=1+a₂=(1/2)(a₂+1/a₂)=(1/2)(a₂²+1)/a₂
故有2a₂+2a₂²=a₂²+1,a₂²+2a₂-1=0,∴a₂=(-2+√8)/2=-1+√2
S₃=a₁+a₂+a₃=1+(-1+√2)+a₃=√2+a₃=(1/2)(a₃²+1)/a₃
2(√2)a₃+2a₃²=a₃²+1,a₃²+2(√2)a₃-1=0,∴a₃=(-2√2+√12)/2=-√2+√3.
a₁=1；a₂=√2-1,a₃=√3-√2,.,a‹n›=√n-√(n-1)
故S‹n›=1+(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+.+[√(n-2)+√(n-3)]+[√(n-1)-√(n-2)]+[(√n-√(n-1)]=√n
（1）求a₁,a₂,a₃；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3）求s‹n›
a₁=S₁=(1/2)(a₁+1/a₁)=(1/2)(a₁²+1)/a₁
故2a₁²=a₁²+1,∴a₁=1.
S₂=a₁+a₂=1+a₂=(1/2)(a₂+1/a₂)=(1/2)(a₂²+1)/a₂
故有2a₂+2a₂²=a₂²+1,a₂²+2a₂-1=0,∴a₂=(-2+√8)/2=-1+√2
S₃=a₁+a₂+a₃=1+(-1+√2)+a₃=√2+a₃=(1/2)(a₃²+1)/a₃
2(√2)a₃+2a₃²=a₃²+1,a₃²+2(√2)a₃-1=0,∴a₃=(-2√2+√12)/2=-√2+√3.
a₁=1；a₂=√2-1,a₃=√3-√2,.,a‹n›=√n-√(n-1)
故S‹n›=1+(√2-1)+(√3-√2)+(√4-√3)+.+[√(n-2)+√(n-3)]+[√(n-1)-√(n-2)]+[(√n-√(n-1)]=√n