将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 11:34:28
将正方形ABCD绕中心O顺时针旋转角α得到正方形A1B1C1D1.如图1所示.
(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证明、
(2)当0°>α>90°时,第(1)小题中的结论PA=PA1还成立吗?理由
(3)在旋转过程中,记正方形A1B1C1D1与AB边交于P,Q两点,探究∠POQ的度数是否改变?如果变化,请描述它与α之间的关系,如果不变,请直接写出∠POQ的度数
(1)当α=45°时,如图2,若线段OA与边A1D1的交点为E.线段OA1与AB的交点为F.可得下列结论成立:1.△EOP全等△FOP 2.PA=PA1 .试选一个证明、
(2)当0°>α>90°时,第(1)小题中的结论PA=PA1还成立吗?理由
(3)在旋转过程中,记正方形A1B1C1D1与AB边交于P,Q两点,探究∠POQ的度数是否改变?如果变化,请描述它与α之间的关系,如果不变,请直接写出∠POQ的度数
考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质.
专题:综合题;探究型.
分析:(1)①根据旋转的性质可得:∠AOA1=45°,即可证明∠PFO=90°,则OE=OF,即可根据HL公理证明两三角形全等;
②先证明△EOP≌△FOP,再证明∴△APO≌△A1PO,即可证得;
(2)作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F,首先△EOP≌△FOP证得∠APO=∠A1PO,即可证明△APO≌△A1PO,从而结论得证;
(3)根据(1)(2)的解题过程中∠POQ的大小不变,即可确定.
(1)若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时,即∠AOA1=45°,又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°,同理∠PEO=90°
∴$EO=FO=\frac{AB}{2}$
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA1
法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二:证明,同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO(2分)
在△APO和△A1PO中有$\left\{{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠APO=∠{A_1}PO}\\{∠PAO=∠P{A_1}O={{45}°}}\end{array}}\right.$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(2)成立
证明如下:法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二
如图,作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F
则OE=OF,∠PFO=90°,∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO
在△APO和△A1PO中有
$\left\{\begin{array}{l}{op=op}\\{∠APO=∠{A}_{1}}\end{array}\right.PO,∠PAO=∠P{A}_{1}O=45°$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(3)在旋转过程中,∠POQ的度数不发生变化,∠POQ=45°
专题:综合题;探究型.
分析:(1)①根据旋转的性质可得:∠AOA1=45°,即可证明∠PFO=90°,则OE=OF,即可根据HL公理证明两三角形全等;
②先证明△EOP≌△FOP,再证明∴△APO≌△A1PO,即可证得;
(2)作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F,首先△EOP≌△FOP证得∠APO=∠A1PO,即可证明△APO≌△A1PO,从而结论得证;
(3)根据(1)(2)的解题过程中∠POQ的大小不变,即可确定.
(1)若证明①△EOP≌△FOP
当α=45°时,即∠AOA1=45°,又∠PAO=45°
∴∠PFO=90°,同理∠PEO=90°
∴$EO=FO=\frac{AB}{2}$
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP
若证明②PA=PA1
法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二:证明,同①先证明△EOP≌△FOP
得∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO(2分)
在△APO和△A1PO中有$\left\{{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{∠APO=∠{A_1}PO}\\{∠PAO=∠P{A_1}O={{45}°}}\end{array}}\right.$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(2)成立
证明如下:法一证明:连接AA1,则∵O是两个正方形的中心,∴OA=OA1∠PA1O=∠PAO=45°
∴∠AA1O=∠A1AO
∴∠AA1O-∠PA1O=∠A1AO-∠PAO
即∠AA1P=∠A1AP∴PA=PA1
法二
如图,作OE⊥A1D1,OF⊥AB,垂足分别为E,F
则OE=OF,∠PFO=90°,∠PEO=90°
在Rt△EOP和Rt△FOP中,有$\left\{{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OP=OP}\end{array}}\right.$
∴△EOP≌△FOP∠EPO=∠FPO
∵∠APE=∠A1PF∴∠APE+∠EPO=∠A1PF+∠FPO即∠APO=∠A1PO
在△APO和△A1PO中有
$\left\{\begin{array}{l}{op=op}\\{∠APO=∠{A}_{1}}\end{array}\right.PO,∠PAO=∠P{A}_{1}O=45°$
∴△APO≌△A1PO
∴PA=PA1
(3)在旋转过程中,∠POQ的度数不发生变化,∠POQ=45°
如图2边长为6的正方形abcd,绕点c顺时针旋转30°后,得到正方形efcg,
如图,p是正方形abcd内一点,将△abp绕点b的顺时针旋转,能与△cbp′重合,若bp=3.(1)写出旋转中心是什么,
如图已知正方形OEFG的顶点O放在正方形ABCD的中心O处,若正方形OEFG绕O点旋转.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是正方形BCC1B1的中心,求证:
如图,将边长为3cm的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°
如图,在正方形ABCD中,E是BC上任意一点,连接AE,以E点为中心把EA绕E点顺时针旋转90°,得到EG,交CD于F,
边长为2的正方形ABCD放在平面直角坐标系中,若将正方形绕点B顺时针旋转45度,得到正方形A'BC'D',
如图,四边形AOBC是正方形,点C的坐标是(4根号2,0) 将正方形绕点o顺时针旋转45°,求旋转后的正方形与原正方形的
如图,将面积是8平方厘米的正方形abcd沿直线l按顺时针方向翻转,当正方形翻转一周时,正方形的中心o所经过
己知:正方形ABCD 如图4,等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转∠α,
一道几何题,如图,P是正方形ABCD内的一点,BA=4,BP=3,将三角形ABP绕点B顺时针旋转90度得到三角形CBP’
如图已知p为正方形abcd外的一点PA等于一pb等于二将三角形abp绕点b顺时针旋转九十度得到三角形bcp片且ap片等于