高中数学竞赛关于多项式的题

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 14:15:20

高中数学竞赛关于多项式的题
假设 p(x) 是一个多项式,系数均为证书.证明：如果 p(a)=1,a为某一个整数,那么 p(x) 至多有两个整数根
答出来再追加十分.

反证法：假设p(x)至少有三个整数根,不妨设为A1,A2,A3.Ai互不相等.又由P（a）=1可设p(x)=(x-a)q(x)+1其中q(x)为整系数多项式
则p(Ai)=0,i=1,2,3 即（Ai-a）q(Ai)=-1故Ai-a=1or-1显然与Ai互不相等矛盾.补充：严格来说题目应为互不相等的整根.
再问：请问为什么q(X)也一定是整系数呢？
再答：由多项式的辗转相除即可知，手机帮你答疑，输入很不方便。其实q(x)为整系数是显然的

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