2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案

2010年陕西省咸阳市的数学竞赛的题及参考答案

一、选择题（共5小题,每小题7分,共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）
1．若,则的值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）
由题设得．
代数式变形,同除b
2．若实数a,b满足,则a的取值范围是（ ）．
（A）a （B）a4 （C）a≤或 a≥4 （D）≤a≤4
解．C
因为b是实数,所以关于b的一元二次方程
的判别式 ≥0,解得a≤或 a≥4．
方程思想,判别式定理；要解一元二次不等式
3．如图,在四边形ABCD中,∠B＝135°,∠C＝120°,AB=,BC=,CD＝,则AD边的长为（ ）．
（A） （B）
（C） （D）
D
如图,过点A,D分别作AE,DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F．
由已知可得
BE=AE=,CF＝,DF＝2,
于是 EF＝4＋．
过点A作AG⊥DF,垂足为G．在Rt△ADG中,根据勾股定理得
AD＝．
勾股定理、涉及双重二次根式的化简,补全图形法
4．在一列数……中,已知,且当k≥2时,
（取整符号表示不超过实数的最大整数,例如,）,则等于（ ）．
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
B
由和可得
,
,
……
因为2010=4×502+2,所以=2．
高斯函数；找规律.
--------------------------------------------------------------------------------
5．如图,在平面直角坐标系xOy中,等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1,1）,B（2,－1）,C（－2,－1）,D（－1,1）．y轴上一点P（0,2）绕点A旋转180°得点P1,点P1绕点B旋转180°得点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……,重复操作依次得到点P1,P2,…, 则点P2010的坐标是（ ）．
（A）（2010,2） （B）（2010,）
（C）（2012,） （D）（0,2）
B由已知可以得到,点,的坐标分别为（2,0）,（2,）．
记,其中．
根据对称关系,依次可以求得：
,．
令,同样可以求得,点的坐标为（）,即（）,
由于2010=4502+2,所以点的坐标为（2010,）．
二、填空题
6．已知a＝－1,则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．
0
由已知得 (a＋1)2＝5,所以a2＋2a＝4,于是
2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a2＋6a－12＝0．
7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟,小轿车追上了货车；又过了5分钟,小轿车追上了客车；再过t分钟,货车追上了客车,则t＝ ．
15
设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为（千米/分）,并设货车经x分钟追上客车,由题意得
, ①
, ② ． ③
由①②,得,所以,x=30． 故 （分）．



8．如图,在平面直角坐标系xOy中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0,0）,A（0,6）,B（4,6）,C（4,4）,D（6,4）,E（6,0）．若直线l经过点M（2,3）,且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,则直线l的函数表达式是 ．


如图,延长BC交x轴于点F；连接OB,AFCE,DF,且相交于点N．
由已知得点M（2,3）是OB,AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线把矩形ABFO分成面积相等的两部分．又因为点N（5,2）是矩形CDEF的中心,所以,
过点N（5,2）的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分．
于是,直线即为所求的直线．
设直线的函数表达式为,则
解得 ,故所求直线的函数表达式为．
--------------------------------------------------------------------------------
9．如图,射线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE,BN于点F,C,过点C作AM的垂线CD,垂足为D．若CD＝CF,则 ．

见题图,设．
因为Rt△AFB∽Rt△ABC,所以 ．
又因为 FC＝DC＝AB,所以 即 ,
解得,或（舍去）．
又Rt△∽Rt△,所以, 即=．
10．对于i=2,3,…,k,正整数n除以i所得的余数为i－1．若的最小值满足,则正整数的最小值为 ．
因为为的倍数,所以的最小值满足
,
其中表示的最小公倍数．
由于
,
因此满足的正整数的最小值为．

三、解答题（共4题,每题20分,共80分）
11．如图,△ABC为等腰三角形,AP是底边BC上的高,点D是线段PC上的一点,BE和CF分别是△ABD和△ACD的外接圆直径,连接EF. 求证： （第12A题）


．
（第12B题）


（第12B题）


证明：如图,连接ED,FD. 因为BE和CF都是直径,所以
ED⊥BC, FD⊥BC,
因此D,E,F三点共线. …………（5分）
连接AE,AF,则
,
所以,△ABC∽△AEF. …………（10分）
作AH⊥EF,垂足为H,则AH=PD. 由△ABC∽△AEF可得
我自己知道的,大家会复制我的,所以请你先看看谁先发的答案,希望能帮助你.