A为n阶矩阵,且rankA=rankA^2,证明：rankA=rankA^3（除约当标准型之外的解法）

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/27 04:43:55

注意rank(A)=rank(A^2)等价于Ax=0和A^2x=0同解
既然如此,A^3x=A^2(Ax)=0和A^2x=A(Ax)=0也同解
所以rank(A^3)=rank(A^2)=rank(A)
再问：请问为什么rank(A)=rank(A^2)等价于Ax=0和A^2x=0同解
再答：显然Ax=0 => A^2x=0，所以Ker(A)包含于Ker(A^2)，dim(Ker(A^2)) >= dim(Ker(A)) rank(A)=rank(A^2) dim(Ker(A^2)) = dim(Ker(A)) Ker(A^2)=Ker(A)
再问：不好意思没有看清楚，请问你是说rank(A)=rank(A^2) 等价于 dim(Ker(A^2)) = dim(Ker(A))等价于 Ker(A^2)=Ker(A)等价于 Ax=0和A^2x=0同解吗那么你最开始得出的 dim(Ker(A^2)) >= dim(Ker(A)) 和这有什么关系呢
再答：你可以认为dim(Ker(A^2)) >= dim(Ker(A))这句话没用，关键的部分是这两个子空间有包含关系，如果没有包含关系的话维数相等不可能推出子空间相等

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