已知集合P是由不超过2012的正整数组成的集合,即P={1,2,3,⋯,2012}.集合A是集合P的子集,符

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 16:21:14

已知集合P是由不超过2012的正整数组成的集合,即P={1,2,3,⋯,2012}.集合A是集合P的子集,符号|A|表示集合A中元素的个数,S(A)表示集合A中所有元素的和.（1）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数,求|A|的最大值；（2）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数,且任意两个数的和也不是101的倍数,求|A|的最大值；（3）若集合A中任意两个数的差都不是101的倍数,且任意两个数的和也不是101的倍数,同时S(A)=2012,求|A|的最大值.
求第三问做法.

（3）|A|的最大值为51.
集合A中任意两个数的差都不是101的倍数,根据（1）中的结果,最多有101个数,这里不妨就取1,2,3,…,101
把它们两两配对（1,100）,（2,99）,……,（50,51）,101
共得到51组数,每组数中选一个,可以保证任意两个数的和也不是101的倍数.
若选择52个数,则根据抽屉原理,必有两数位于同一组中,这两数的喝酒时101.
所以|A|的最大值不超过51.
另一方面,满足上面条件的51个数可以找到,比如：
7,8,9,10,11,12,13,14,16,17,……,49,51,86,95,96,97,98,99,100,101
（即把1~50中的1、2、3、4、5、6、15、50分别换成51、86,95,96,97,98,99,100,然后再加入101）
所以|A|的最大值为51.

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