求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/16 23:46:12

求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解
1.(dy/dx)-y/x-1=0,y(e)=3e；
令y/x=u,则y=ux；对x取导数得dy/dx=(du/dx)x+u,代入原式得：
(du/dx)x+u-u-1=0,即有(du/dx)x=1；分离变量得du=dx/x；积分之得u=lnx+lnC=ln(Cx),
故得通解为y=xln(Cx)；代入初始条件：3e=eln(Ce)=e(lnC+1),即有lnC=2,C=e²；
于是得特解为y=xln(e²x)=x(2+lnx)=2x+xlnx；
2.xy'+2y=0,y(1)=1；
dy/dx=-2y/x；分离变量得dy/y=-2dx/x；取积分得lny=-2lnx+lnC=ln(C/x²)
故得y=C/x²,即通解为x²y=C；代入初始条件得C=1,故得特解为x²y=1.

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