椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 01:56:57
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有两个动点P.Q,角POQ=90度,求│OP│*│OQ│的极值
急啊~~~~大家努力算哈~~~
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设P(acosα,bsinα),Q(acosβ,bsinβ),因为角POQ=90°,所以
向量OP*向量OQ=0,即(acosα,bsinα)*(acosβ,bsinβ)=0,即
a²cosαcosβ+b²sinαsinβ=0,求得
tanβ= -a²/(b²tanα)
(│OP│*│OQ│)²
=(a²cos²α+b²sin²α)*(a²cos²β+b²sin²β)
=[(a²cos²α+b²sin²α)/(cos²α+sin²α)]*[(a²cos²β+b²sin²β)/(cos²β+sin²β)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²+b²tan²β)/(1+tan²β)]
将tanβ= -a²/(b²tanα)代入得
(│OP│*│OQ│)²
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[a²+b²a^4/(b^4tan²α)]/[1+a^4/(b^4tan²α)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²b^4tan²α+a^4b²)/(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a²+b²tan²α)²/[(1+tan²α)(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a^4+2a²b²tan²α+b^4tan^4α)²/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]
=a²b²{1-[(a²-b²)²tan²α]/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]}
=a²b²{1-(a²-b²)²/[(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)]}
令式中的分母(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)=y,令tan²α=x,则
y=(a^4/x)+b^4x+(a^4+b^4),是一个勾函数,运用均值不等式得
y≥(a^4+b^4)+2√(a^4/x)*(b^4x)
=(a^4+b^4)+2√(a^4b^4)
=(a^4+b^4)+2a²b²
=(a²+b²)²
所以y∈[(a²+b²)²,+∞),从而
a²b²[1-(a²-b²)²/(a²+b²)²]≤(│OP│*│OQ│)²
向量OP*向量OQ=0,即(acosα,bsinα)*(acosβ,bsinβ)=0,即
a²cosαcosβ+b²sinαsinβ=0,求得
tanβ= -a²/(b²tanα)
(│OP│*│OQ│)²
=(a²cos²α+b²sin²α)*(a²cos²β+b²sin²β)
=[(a²cos²α+b²sin²α)/(cos²α+sin²α)]*[(a²cos²β+b²sin²β)/(cos²β+sin²β)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²+b²tan²β)/(1+tan²β)]
将tanβ= -a²/(b²tanα)代入得
(│OP│*│OQ│)²
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[a²+b²a^4/(b^4tan²α)]/[1+a^4/(b^4tan²α)]
=[(a²+b²tan²α)/(1+tan²α)]*[(a²b^4tan²α+a^4b²)/(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a²+b²tan²α)²/[(1+tan²α)(a^4+b^4tan²α)]
=a²b²(a^4+2a²b²tan²α+b^4tan^4α)²/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]
=a²b²{1-[(a²-b²)²tan²α]/[a^4+(a^4+b^4)tan²α+b^4tan^4α]}
=a²b²{1-(a²-b²)²/[(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)]}
令式中的分母(a^4/tan²α)+b^4tan²α+(a^4+b^4)=y,令tan²α=x,则
y=(a^4/x)+b^4x+(a^4+b^4),是一个勾函数,运用均值不等式得
y≥(a^4+b^4)+2√(a^4/x)*(b^4x)
=(a^4+b^4)+2√(a^4b^4)
=(a^4+b^4)+2a²b²
=(a²+b²)²
所以y∈[(a²+b²)²,+∞),从而
a²b²[1-(a²-b²)²/(a²+b²)²]≤(│OP│*│OQ│)²
已知点P.Q是椭圆x^2/ a^2+y^2/ b^2=1上的点,O为坐标原点,角POQ=90度.求1/OP^2+1/OQ
已知点P、Q是椭圆x^2/9+y^2/4=1上的点,O为坐标原点∠POQ=90°,求1/op^2+1/OQ^2的值
点A(a,0),B(0,b)分别是x轴和y轴正半轴上的定点,动点P(x,y)满足│OP│=│AB│,点Q满足OP+OQ=
设中心在原点的椭圆与双曲线2x^2-2y^2=1有公共焦点,过点A(2,0)的直线交椭圆M于P、Q两点,op⊥oq,求p
直线y=x+1交椭圆x^2/a^2+Y^2/b^2=1于P,Q两点,PQ的距离是2(根号)10,op垂直于OQ,求椭圆的
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为原点),求1
椭圆X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交与P,Q两点且OP垂直于OQ,其中O为坐标原点 求
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上有两点P,Q,O为坐标原点,设直线OP,OQ的斜率分别为
证明与找错已知P,Q是椭圆9x^2+16y^2=1上的两个动点,O为坐标原点,若OP⊥OQ,则点O到弦PQ的距离是多少?
椭圆X^2/a^2 Y^2/b^2=1,过左焦点F的直线交椭圆于P、Q,O为原点,OP垂直OQ,求离心率e的范围
已知直线y=x+1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1交于P,Q两点,且OP垂直OQ,|PQ|=根号10/2,求椭圆
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)与直线x+y=1交于P.Q两点,且OP垂直OQ,其中0为坐标原点