如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，P是侧棱CC 1 上的一点，CP=m，

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 00:43:35

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁ B₁ C₁ D₁ 中，P是侧棱CC₁ 上的一点，CP=m，
（Ⅰ）试确定m，使直线AP与平面BDD₁ B₁ 所成角的正切值为3

；
（Ⅱ）在线段A₁ C₁ 上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D₁ Q在平面APD₁ 上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

（Ⅰ）连AC，设AC与BD相交于点O，
AP与平面

相交于点G，连结OG，
因为PC∥平面

，平面

∩平面APC=OG，
故OG∥PC，
所以，OG=

，
又AO⊥BD，AO⊥BB₁ ，所以AO⊥平面

，
故∠AGO是AP与平面

所成的角，
在Rt△AOG中，tanAGO=

，即m=

，
所以，当m=

时，
直线AP与平面

所成的角的正切值为3

。
（Ⅱ）可以推测，点Q应当是A₁ C₁ 的中点O₁ ，
因为D₁ O₁ ⊥A₁ C₁ ，且D₁ O₁ ⊥A₁ A，
所以D₁ O₁ ⊥平面ACC₁ A₁ ，
又AP

平面ACC₁ A₁ ，
故D₁ O₁ ⊥AP，
那么根据三垂线定理知，D₁ O₁ 在平面APD₁ 的射影与AP垂直。