搜狗做题网设r为自然数,证明k可以整除phi(a^r - 1),a>=2
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 14:35:20
设r为自然数,证明k可以整除phi(a^r - 1),a>=2
答过一样的题,这里贴一下.
首先有Fermat-Euler定理:
若a与m为互质的正整数,则m | a^φ(m)-1.
再补充一个引理:
若a与m是正整数,d是使m | a^d-1的最小正整数.
如果正整数k也满足m | a^k-1,则有d | k.
证明:由带余除法,可设k = qd+r,其中q,r为正整数,0 ≤ r < d.
由m | a^d-1,有m | (a^d-1)(a^((q-1)d)+...+a^d+1) = a^(qd)-1.
进而m | a^r·(a^(qd)-1) = a^(qd+r)-a^r = a^k-a^r.
又m | a^k-1,故m | (a^k-1)-(a^k-a^r) = a^r-1.
由0 ≤ r < d,而d是使m | a^d-1的最小正整数,只有r = 0.
从而k = qd,即d | k.
用上面两个结论能立即完成证明.
对正整数r,取m = a^r-1.
显然,使m | a^d-1的最小正整数d = r.
又易知a与m互质,由Fermat-Euler定理,m | a^φ(m)-1.
再由引理即得r | φ(m) = φ(a^r-1).
首先有Fermat-Euler定理:
若a与m为互质的正整数,则m | a^φ(m)-1.
再补充一个引理:
若a与m是正整数,d是使m | a^d-1的最小正整数.
如果正整数k也满足m | a^k-1,则有d | k.
证明:由带余除法,可设k = qd+r,其中q,r为正整数,0 ≤ r < d.
由m | a^d-1,有m | (a^d-1)(a^((q-1)d)+...+a^d+1) = a^(qd)-1.
进而m | a^r·(a^(qd)-1) = a^(qd+r)-a^r = a^k-a^r.
又m | a^k-1,故m | (a^k-1)-(a^k-a^r) = a^r-1.
由0 ≤ r < d,而d是使m | a^d-1的最小正整数,只有r = 0.
从而k = qd,即d | k.
用上面两个结论能立即完成证明.
对正整数r,取m = a^r-1.
显然,使m | a^d-1的最小正整数d = r.
又易知a与m互质,由Fermat-Euler定理,m | a^φ(m)-1.
再由引理即得r | φ(m) = φ(a^r-1).
设A为n阶矩阵,证明r(A^n)=r(A^(n+1))
设A为n阶（n≥2）方阵,证明r(A*)= n ,r(A)=n r(A*)= 1,r(A)=n-1 r(A*)= 0,r
设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA
设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：
设A为m×n实矩阵,证明r(A^T A)=r(A)
线代r(A)=r(A²)证明r(A)=r(A^k)
设A为n阶方阵,证明：（1）若A^2=A,则r(A)+r(A-E)=n (2)若A^2=E,则r(A+E)+r(A-E)
(ii) 设A,B为n阶方阵,r(AB)=r(B),证明对于任意可以相乘的矩阵C均有r(ABC)=r(BC).
设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12},R为整除关系.
设A为实矩阵,证明r(A^TA)=r(A)
设R是A上的等价关系,证明R^2=R
设A,B为矩阵,证明R(A+B)小于等于R(A)+R(B)