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如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G

来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 22:52:21
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G位BD上一点,
且满足∠GAF=∠EAF.
(1)若AB=1,BC=2求DG的长
(2)求证:AG=BG+EF
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC>AB,以AB为边长做正方形ABDE,点D在边BC上,AC与DE交于点F,点G
(1)若AB=1,BC=2求DG的长
∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²
(1-x)²+1²=(1+x)²
1-2x+x²+1=1+x²+2x
解得x=1/4
DG=1/4
(2)求证:AG=BG+EF
∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
如果仍然是AB=1,BC=2,那么
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²
AG²=(1-1/4)²+1²=25/16
AG=5/4,
由于DF平行于AB,且D为BC中点,所以,DF是△ABC的中位线,F是AC的中点,
DF=1/2,EF=1/2,
则BG+EF=3/4+1/2=5/4=AG
【若不限定BC的长度,更一般的证明】
【∵∠1=∠2,且AE∥BC
∴∠C=∠1=∠2,
∴△AGC是等腰三角形,AG=GC
设DG=x,在直角△ABG中,根据勾股定理,可得到BG²+AB²=AG²=GC²,又BD=AB=AE=DE
(AB-x)²+AB²=(DC+x)²