已知实数,x、y、z满足x+y+z=1,求x²+4y²+9z²的最小值

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/03 18:34:18

【法一】
　　利用柯西不等式得：
　　[1²+(1/2)²+(1/3)²][x²+(2y)²+(3z)²]≥(x+y+z)²
　　即 49/36 (x²+4y²+9z²)≥(x+y+z)²
　　x²+4y²+9z² ≥36(x+y+z)²/49
　　将x+y+z=1代入上式得：
　　x²+4y²+9z²≥36×1/49=36/49
　　答案：x²+4y²+9z²的最小值36/49
【法二】
构造向量a=(1,1/2,1/3)
b=(x,2y,3z)
根据向量数量积性质
a*b≤|a||b|
即(1,1/2,1/3)(x,2y,3z)≤√(1+1/2²+1/3²)×√(x²+4y²+9z²)
x+y+z≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
1≤√(49/36) ×√(x²+4y²+9z²)
两边同时平方得：
1≤49/36 (x²+4y²+9z²)
所以x²+4y²+9z²≥36/49
故最小值为36/49

设实数x,y,z满足x+y=z-1,且xy=z²-7x+14 ,试求z的最大值和最小值已知实数x、y、z满足：2x+3y+z=1,则x²+y²+z²的最小值为已知实数x,y,z,满足x²+4y²+根号-z²=2x+4y-2,求x+2y-z的平方已知实数x,y,z,满足x+y=5,z²=xy+y=9,求x+2y+3Z的值已知实数X,Y,Z满足X+2Y+Z=1,求X^2+4Y^2+Z^2的最小值已知x,y,z均为实数,且满足:x+2y-z=6,x-y+2z=3.求x+y+z的最小值已知实数x,y,z满足x/(y+z)+y/(z+x)+z/(x+y)=1,求x2/(y+z)+y2/(z+x)+z2/( 已知x,y,z满足x+y+2z=1,x²+y²+6z+1.5=0,求x,y,z的值已知正实数x,y,z,满足xyz=1.求代数式(x+1)(y+1)(z+1)的最小值已知实数x,y,z满足x²-6xy+10y²+4y+|z²-3z+2|+4=0,求(x+y 已知实数x,y满足（x+2y+1）(x-y+4)≤0.求z=x²+y²的最小值及取得最小值时x,y的已知实数x,y,z满足x=6-y,z^2-4z+4=xy-9,求x,y,z的值.