搜狗做题网一道高中奥赛不等式题 里面[4x+1]表根号
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 14:12:23
一道高中奥赛不等式题 里面[4x+1]表根号
a,b,c非负且a+b+c=1,求证[4a+1]+[4b+1]+[4c+1]>=2+[5] “[ ]”在这里暂表示一下根号哈,因为打不出来,可别认为是取整哦.
a,b,c非负且a+b+c=1,求证[4a+1]+[4b+1]+[4c+1]>=2+[5] “[ ]”在这里暂表示一下根号哈,因为打不出来,可别认为是取整哦.
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先证明当0≤x≤1时√(4x+1)≥1+(√5-1)x
证明很简单,平方后等价于4x≥2(√5-1)x+(√5-1)²x²
因为0≤x≤1,所以2(√5-1)x+(√5-1)²x²≤2(√5-1)x+(√5-1)²x=4x,得证
于是回到原题,
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≥1+(√5-1)a+1+(√5-1)b+1+(√5-1)c=2+√5
证明很简单,平方后等价于4x≥2(√5-1)x+(√5-1)²x²
因为0≤x≤1,所以2(√5-1)x+(√5-1)²x²≤2(√5-1)x+(√5-1)²x=4x,得证
于是回到原题,
√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)≥1+(√5-1)a+1+(√5-1)b+1+(√5-1)c=2+√5
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