在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点,连接DE,DF,EF.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 09:48:15

在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,D、E、F分别是棱PA、PB、PC的中点,连接DE,DF,EF.
（1）求证平面DEF平行平面ABC
（2）若PA=BC=2,当三棱锥P-ABC的体积的最大值时,求二面角A-EF-D的余弦值

1.
∵D、E分别是棱PA、PB的中点
∴DE是△PAB的中位线,∴DE‖AB
∵DE 平面PAB,ABÌ平面PAB
∴DE‖平面PAB
∵DE∩DF=D,DE包含于平面DEF,DF包含于平面DEF,
∴平面DEF‖平面ABC
2.由已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,PA=BC=2,
∴AB2 +AC2 =BC2=4
∴三棱锥P-ABC的体积为V=1/3PA*Svabc=1/3PA*1/2AB*AC
=1/6*2*AB*AC≤1/3*(AB²+AC²)/2
=1/3*BC²/2=2/3
当且仅当AB=AC时取等号此时三棱锥P-ABC的体积有最大值2/3 AB=AC=√2
作DG⊥EF,垂足为G,连接AG,
∵PA⊥平面ABC,平面ABC‖平面DEF,∴PA⊥平面DEF
∵EF包含于平面DEF,∴ PA⊥EF.
∵DG∩PA=D,∴EF⊥平面PAG,AG包含于平面PAG,∴EF⊥AG,
∴∠AGD是二面角A-EF-D的平面角
在Rt△EDF中,DE=DF=1/2AB=√2/2 EF=1/2BC=1 ,∴DG=1/2
F在Rt△ADG里,AG=√AD²+DG²=√5/2
∴cos∠AGD=DG/AG=1/2 / √5/2=√5/5
由此二面角A-EF-D的余弦值=√5/5

在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC,AB垂直AC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,连接DE,DF,EF, 三棱锥P-ABC中,PB垂直AC,PA=PB=PC,E,F分别是PA,PB的中点,且EF垂直CE,求证平面PAB,平面P 如图在三棱锥P-ABC中PA⊥平面ABC∠BAC=90°D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中点,AB=AC=1PA=2 如图,在三棱锥P-ABC中,棱PB⊥AC,E,F,G,H分别是PA,AB,BC,CP的中点. 在三棱锥P-ABC中 PA=PB=PC D为AC中点正 PD⊥平面ABC 已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点.求证：平面DEF∥平面ABC 如图,在三棱锥P-ABC,PC垂直底面ABC,AB垂直BC,D、E分别是AB、PB的中点.PC=AC 求证：DE//平面如图,在四面体P-ABC中,PA垂直平面ABC,AC垂直AB,且D、E、F、G分别为BC、PC、AB、PA的中点如图，在三棱锥P-ABC中，侧棱PA⊥底面ABC，AB⊥BC，E、F分别是棱BC、PC的中点．在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D、E分别是点A在PB，PC上的射影，求证：（1）AD⊥平面PB 如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点．如图在三棱锥P-ABC中,PA垂直平面ABC 角bac=90 d.e.f分别是棱AB.BC的中点,AB=AC=1,PA=