在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 17:36:47

在直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．

（1）若点P的坐标为（-1，4），求此时抛物线的解析式；
（2）若点P的坐标为（-1，k），k＜0，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，QB+QP取得最小值为5；
（3）试求满足（2）时动点Q的坐标．

在直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B，顶点为P．

（1）∵顶点P的坐标为（-1，4），
∴设抛物线解析式为y=a（x+1）²+4，
将点A（1，0）坐标代入，得a（1+1）²+4=0，
解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）²+4（或y=-x²-2x+3）；
（2）作点P关于y轴的对称点P′（1，k），连接BP′交y轴于点Q，
所以，QP=QP′，
点Q即为所求的使QB+QP取得最小值时的点，
∵点A（1，0），对称轴为直线x=-1，
∴点B（-3，0），
∴AB=1-（-3）=1+3=4，
∵QB+QP取得最小值为5；
∴BP′=QB+QP′=QB+QP=5，
在Rt△ABP′中，AB²+AP′²=BP′²，
即4²+k²=5²，
解得k=3或k=-3，
∵k＜0，
∴k=-3；
（3）由（2）知，△BOQ∽△BAP′，
∴
BO
BA=
OQ
AP′，
即
3
4=
OQ
3，
∴OQ=
9
4．
所以Q点的坐标为（0，-
9
4）．