(sinx)^4从0到π的积分,顺便求解重积分函数如何知道函数范围

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/25 01:21:02

(sinx)^4从0到π的积分,顺便求解重积分函数如何知道函数范围
ʃ0到2π，(sinx)^4dx，我想知道这类函数的算法

对 (sinx)^4用几次倍角公式,展开,就可以积分了.
再问：请写上每一步详细做法，我追加10分
再答：对 (sinx)^4用2次倍角公式，得 (sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=...=(3-4cos2x+cos4x)/8，（对偶次幂的情形需要这样处理，如果是奇次幂就简单多了），再用积分公式，就能得到结果。注：上面的“推荐答案”是利用一个现成的递推公式，一般课本上都会当例题给出的，除非你能记得住。
再问：能写一下递推公式吗？
再答：课本上能查到的
再问：抱歉我没找到，写完给分
再答：记 I(n) = ∫(0到2π)[(sinx)^n]dx，利用分部积分，得 I(n) = ∫(0到2π)(sinx)^n dx = -∫(0到2π)[(sinx)^(n-1)]dcosx = -cosx*(sinx)^(n-1)|(0到2π) + ∫ (0到2π)cosx d[(sinx)^(n-1)] = (n-1) ∫(0到2π)[(cosx)^2][(sinx)^(n-2)]dx = (n-1) ∫ (0到2π)[1-(sinx)^2][(sinx)^(n-2)]dx = (n-1) I(n-2) - (n-1)I(n)，所以 I(n) = [(n-1)/n]I(n-2)，（这就是递推公式）当n是偶数时， I(n) = [(n-1) / n]*[(n-3)/(n-2)]*...* (3/4) * (1/2) * I(0) = [(n-1) / n]*[(n-3)/(n-2)]*...* (3/4) * (1/2) *2π，当n是奇数时， I(n) = [(n-1) / n]*[(n-3)/(n-2)]*...* (4/5) * (2/3) * I(1) = 0。

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