搜狗做题网已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R.
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 08:07:01
| 已知函数f（x）=x|x－a|－lnx，a∈R. （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值； （Ⅱ）若f（x）>0恒成立，求a的取值范围. |
(1) f（x）
=f（e）=e
－e－1.
(2) 满足条件的a的取值范围是（－
，1）
试题分析：
当x∈[1，e]时，f（x）=x －x－lnx，f′（x）=2x－1－
=
>0，
所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x） =f（e）=e －e－1. 4分
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+ ）. 由f（x）>0，得|x－a|>
. *
（i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0， <0，不等式*恒成立，
所以a∈R； 5分
（ii）当x=1时，|1－a|≥0， =0，所以a
1； 6分
（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a<x－ 恒成立或a>x+ 恒成立.
令h（x）=x－ ，则h′（x）=
.
因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.
因为a<x－ 恒成立等价于a<（h(x)）
，所以a≤1.
令g（x）=x+ ，则g′（x）=
.再令e（x）=x +1－lnx，则e′（x）=2x－ >0在x∈（1，+ ）上恒成立，e（x）在x∈（1，+ ）上无最大值. 11分
综上所述，满足条件的a的取值范围是（－ ，1）. 12分
点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，运用导数判定函数单调性以及函数的最值，属于基础题。
=f（e）=e －e－1. (2) 满足条件的a的取值范围是（－
，1） 试题分析：
当x∈[1，e]时，f（x）=x
－x－lnx，f′（x）=2x－1－ = >0，所以f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）
=f（e）=e －e－1. 4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+
）. 由f（x）>0，得|x－a|> . *（i）当x∈（0，1）时，|x－a|≥0，
<0，不等式*恒成立，所以a∈R； 5分
（ii）当x=1时，|1－a|≥0，
=0，所以a 1； 6分（iii）当x>1时，不等式*恒成立等价于a<x－
恒成立或a>x+ 恒成立.令h（x）=x－
，则h′（x）= .因为x>1，所以h′（x）>0，从而h（x）>1.
因为a<x－
恒成立等价于a<（h(x)） ，所以a≤1.令g（x）=x+
，则g′（x）= .再令e（x）=x +1－lnx，则e′（x）=2x－ >0在x∈（1，+ ）上恒成立，e（x）在x∈（1，+ ）上无最大值. 11分综上所述，满足条件的a的取值范围是（－
，1）. 12分点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，运用导数判定函数单调性以及函数的最值，属于基础题。