x^2-2在有理数内不可约.则x^2-2是以√2为根的最低次数的有理系数不可约多项式,为什么?

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 20:13:19

这个用Eisenstein判别法:
设f(x) = a0·x^n+a1·x^(n-1)+...+an是整系数多项式.
若存在质数p满足(1) p不整除a0,(2) p | ak,k = 1,2,...,n,(3) p²不整除an,
则f(x)是在有理数域上不可约.
对于x^n-2,可知p = 2即满足条件,因此x^n-2在有理数域上不可约.
再问：我知道不可约，但为什么是次数最低的呢
再答：因为不可约所以次数最低.

命题: 若有理系数多项式f(x)和g(x)(在复数域内)有公共根, 且f(x)不可约, 则f(x) | g(x).
证明如下:
考虑f(x)与g(x)的最大公因式(f(x),g(x)).
由(f(x),g(x)) | f(x), 而f(x)不可约, 有(f(x),g(x)) = 1或f(x) (相差非零常数因子).
若(f(x),g(x)) = 1, 即f(x)与g(x)互素, 则存在u(x), v(x)使u(x)f(x)+v(x)g(x) = 1.
将f(x)与g(x)的公共根代入得0 = 1, 矛盾.
因此只有(f(x),g(x)) = f(x), 于是f(x) | g(x).

现在x^n-2是2^(1/n)满足的有理系数不可约多项式.
若2^(1/n)又是有理系数多项式h(x)的根, 即h(x)与x^n-2有公共根.
由上述命题, x^n-2 | h(x), 当h(x)不为零多项式, 可得h(x)的次数不小于n.

f(x)=x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1在有理数域、实数域上的不可约多项式乘积在复数域,有理数域将f(x)=x^9+x^8.x^2+x^1+1分解为不可约因式的乘积! 设f(x)=∑aix^i是有理域上的不可约多项式,证明f(x)的任意两个不同根之和不可能是有理数求i+根号2在有理数域Q上的不可约多项式,各位高手请告诉我把在复数与实数域上,分解x^n-2为不可约的乘积已知整系数多项式f(x)=x^2+x^2(x+1)^2+x(x+1)^2可以分解成两个相同的二次不可约多项式的积,试求其 a=根号2加根号3,证明,存在有理数域上的不可约多项式f（x）,使f（a）=0 一个多项式的证明题：设整系数多项式f(x)对无限个整数值x的函数值都是素数,则 f(x)在有理数域上不可约. f,h为有理系数多项式；f,h有公共根；h在有理域上不可约.证明：f|h. 在有理数域上分解以下多项式为不可越因式的乘积 x^3-2x^2-2x+1 高等代数多项式问题：f有理数域不可约可约问题的充要条件g(x)=f(ax+b)不可约,在具体做题中b怎么取高等代数多项式有理数域可约问题,f不可约的充要条件是g(x)=f(ax+b)不可约,怎么样才能找到适合的b呢?