搜狗做题网证明：有限群的每个共轭类的元素个数是群阶数的因子
来源：学生作业帮 编辑：搜狗做题网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 00:28:28
证明：有限群的每个共轭类的元素个数是群阶数的因子
考虑有限群在自身上的共轭作用, 则每个共轭类是一个轨道.
每个轨道的长度都是群的阶数的因子, 这对有限群的群作用都成立.
如果对群作用不熟, 也可以这样考虑:
设群为G, 取定一个元素x∈G.
则G中满足g^(-1)xg = x的元素g构成了G的一个子群H(称为x的中心化子).
若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha.
x所在的共轭类的元素一一对应于H的右陪集, 元素个数 = |G|/|H|, 是|G|的因子.
再问： 多谢啦！果然是高手，你的意思我大概明白了，我刚学群论，所以只能理解下边的那种解释，不过还有一个小疑问：若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha. 这个命题的充分性很容易理解，不过必要性我暂时没想明白，即：若对于b不属于H的右陪集Ha，怎样证明b^(-1)xb一定不等于y?
再答： 直接证明若b使b^(-1)xb = y, 则b∈Ha. 实际上, 设c = b·a^(-1), 由b^(-1)xb = y = a^(-1)xa, 有c^(-1)xc = x. 由H的定义, c∈H, 于是b = ca∈Ha.
每个轨道的长度都是群的阶数的因子, 这对有限群的群作用都成立.
如果对群作用不熟, 也可以这样考虑:
设群为G, 取定一个元素x∈G.
则G中满足g^(-1)xg = x的元素g构成了G的一个子群H(称为x的中心化子).
若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha.
x所在的共轭类的元素一一对应于H的右陪集, 元素个数 = |G|/|H|, 是|G|的因子.
再问： 多谢啦！果然是高手，你的意思我大概明白了，我刚学群论，所以只能理解下边的那种解释，不过还有一个小疑问：若y = a^(-1)xa, 可以验证y = g^(-1)xg当且仅当g∈H的右陪集Ha. 这个命题的充分性很容易理解，不过必要性我暂时没想明白，即：若对于b不属于H的右陪集Ha，怎样证明b^(-1)xb一定不等于y?
再答： 直接证明若b使b^(-1)xb = y, 则b∈Ha. 实际上, 设c = b·a^(-1), 由b^(-1)xb = y = a^(-1)xa, 有c^(-1)xc = x. 由H的定义, c∈H, 于是b = ca∈Ha.
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