Σ是曲面z=根号(x^2+y^2)被z=1和z=2所截部分的下侧,计算∫∫(y+z)dydz+z^2dxdy.

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 08:54:58

Σ是曲面z=根号(x^2+y^2)被z=1和z=2所截部分的下侧,计算∫∫(y+z)dydz+z^2dxdy.
答案是-15π/2

补面Σ1：z = 2上侧
∬Σ1 2² dxdy
= 4∬D dxdy,D：x² + y² ≤ 4
= 4 * 4π = 16π
补面Σ2：z = 1下侧
∬Σ2 1² dxdy
= - ∬D dxdy,D：x² + y² ≤ 1
= - π
∬(Σ+Σ1+Σ2) (y + z)dydz + z²dxdy
= ∫∫∫Ω 2z dxdydz,Dz：x² + y² ≤ z²
= ∫(1,2) 2z dz ∬Dz dxdy
= ∫(1,2) 2z * πz² dz
= 15π/2
∴∬Σ (y + z)dydz + z²dxdy
= 15π/2 - 16π + π
= - 15π/2
再问：能不能不用高斯公式直接求？
再答：可以啊，不过麻烦些。
改为xOy面：
z = √(x² + y²)，∂z/∂x = x/√(x² + y²)、∂z/∂y = y/√(x² + y²)
∬Σ (y + z)dydz + z²dxdy
= - ∬D [(y + z)(- ∂z/∂x) + z²] dxdy
= - ∬D [- (y + z) * x/√(x² + y²) + z²] dxdy，D：1 ≤ x² + y² ≤ 4
= - ∬D [ - (y + √(x² + y²)) * x/√(x² + y²) + (x² + y²)] dxdy
= - ∬D (x² + y²) dxdy
= - ∫(0，2π) dθ ∫(1，2) r³ dr
= - 2π * 15/4
= - 15π/2

计算∫∫2xz^2dydz+y(z^2+1)dzdx+(2-z^3)dxdy,其中∑是曲面z=x 计算二重积分∫∫(y^2-z)dydz+（z^2-x)dzdx+(x^2-y)dxdy 其中E 为锥面z=根号下（x^2 计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,其中积分区域为,x^2+y^2+z^2=1的外侧. 曲面积分 ∫∫(y^2-x)dydz+(z^2-y)dzdx+(x^2-z)dxdy,∑为Z=1-x^2-y^2位于侧面计算曲面积分∫∫x^3dydz+y^3dzdx+z^3dxdy,∑是上半球面z=根下1-x^2-y^2的上侧计算I=∫∫-ydxdz+(z+1)dxdy 其中Σ是圆柱面 x^2+y^2=4 被平面x+z=2和z=0 所截部分的外高斯公式计算曲面积分I=∫∫-ydxdz+(z+1)dxdy 其中Σ是圆柱面 x^2+y^2=4 被x+z=2和z=0所 ∫∫(x-y)dydz+(y-z)dzdx+(z-x)dxdy,∑为锥面z=√(x^2+y^2)的下侧,z在0到2之间计算曲面积分I=∫∫2x^3dydz+2y^3dzdx+3(z^2-1)dxdy,积分区域为∑,∑是曲面z=1-x^2- 计算曲面积分 I=∫∫(S+) (x^3)dydz+(z)dzdx+(y)dxdy 其中s+为曲面x^2+y^2=4,与 ∫∫xdydz+ydzdx+(z^2-2z)dxdy 其中∑为锥面 z=根号x^2+y^2 被平面z=0 和z=1所截得计算曲面积分∫∫(x^2-yz)dydz+(y^2-xz)dzdx+(z^2-xy)dxdy,其中∑是三坐标平面与x=a