设f(x)＝x33，对任意实数t，记gt(x)＝t23x−23t．

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/06 13:29:55

设f(x)＝

（I）y＝
x3
3−4x+
16
3．由y'=x²-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)＝f(x)−gt(x)＝
x3
3−t
2
3x+
2
3t(x＞0)，则h′(x)＝x2−t
2
3，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x＝t
1
3，
当x∈(x
1
3，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t
1
3)＝0．
故当x＞0时，f（x）≥g_t（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)＝gt(x)＝t
2
3x−
2
3t(t＞0)，则h′(t)＝
2
3t−
1
3(x−t
1
3)，
由h'（t）=0，得t=x³．
当0＜t＜x³时，h'（t）＞0．
当t＞x³时，h'（t）＜0，
所以当t=x³时，h（t）取得最大值h(x3)＝
1
3x3．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)＝
8
3＝gt(2)．
由（i）得，g_t（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x₀=2，使得g_x（2）≥g_t（2）对任意正实数t成立．
下面证明x₀的唯一性：
当x₀≠2，x₀＞0，t=8时，f(x0)＝
x03
3，gx(x0)＝4x0−
16
3，
由（i）得，
x03
3＞4x0−
16
3，
再取t=x₀³，得gx03(x0)＝
x03
3，
所以gx(x0)＝4x0−
16
3＜
x03
3＝gx03(x0)，
即x₀≠2时，不满足g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）0≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x₀＞0，gx(x0)＝4x0−
16
3，
因为g_t（x₀）关于t的最大值是
1
3x03，所以要使g_x（x₀）≥g_t（x₀）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0−
16
3≥
1
3x03，
即（x₀-2）²（x₀+4）≤0，①
又因为x₀＞0，不等式①成立的充分必要条件是x₀=2，
所以有且仅有一个正实数x₀=2，
使得g_x（x₀）≥g_t（x₀）对任意正实数t成立．

设函数f(x)=4的x次方/(2+4的x次方)对任意的实数t,都有f(t)+f(1-t)=1 设函数f(x)＝a^2＋bx＋c(a≠0),对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)成立,则函数值f(－1),f(1) 设f（x）=x2+bx+c对任意实数t，都有f（2+t）=f（2-t），那么（　　）设函数f(x)=x-4x-4的定义域为〔t-2,t-1〕,对任意实数t,求函数f(x)的最小值g(t)的解析式如题设f(x)的定义域是所有实数,且f(x)是奇函数,且当x>=0时,f(x)等于x的二次方,若对任意的x?[t,t+2], 函数f(x)=-x^2+bx+c对任意实数都有f(2+t)=f(2-t) 已知函数f(x)＝1−22x+t（t是常实数）． 3．如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(4-t)=f(t), 设定义域为R的函数f(x),对任意实数X,Y满足f(x+Y)=f(x)*f(y),且f(0)≠0求证f(x)>0 设函数f(x)=(x+a)^2对于任意实数t∈R都有f(1-t)=f(1+t),则a的值是? 设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），对任意实数t都有f（2+t）=f（2-t）成立，那么在函数值f（-1）、f（设二次函数f(x)等于ax2+bx+c (a不为0),对任意实数t都有f(2+t)等于(2-t)成立,则函数值中f(-1