简单的数论命题证明：若a.b的最大公约数为d,则存在x.y使得ax+by=d

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 07:15:41

简单的数论命题证明：若a.b的最大公约数为d,则存在x.y使得ax+by=d
这里a,b,x,y,d为整数
能先举个例子在证明么?

例如a=18 b=15 所以d=3
18*1+15*（-1）=3
若a与b互质,必能找到一组数x,y,使得等式ax+by=1成立.
而a,b最大公约数为d,所以两数除以d后,得出的a'与b',必满足上述性质.
等式两边同时乘以d,得原式
这是比较通俗的去理解,严谨的证明还是去看书吧,很难打上来
再问： "若a与b互质，必能找到一组数x,y，使得等式ax+by=1成立。" 我就是这句话不理解。。。
再答：辗转相除法我还是以具体数为例吧，严谨证明的下标很难打如a=35,b=4，两数互质， 35=4*8+3 4=3*1+1 所以1=4-3*1=4-（35-4*8）=4*9-35 写成ax+by=1，则x=-1，y=9 其余的互质的两个数也可以这样，辗转相除法是通用的
再问：麻烦你了，那我再举个例子53和37 53=37×1+16 37=16×2+5 16=5×3+1 1=16-5×3 。。。然后呢？1=（53-37×1）-5×3 这个5×3怎么办？
再答：不是这样，这其实是辗转相除法的逆推由16=5×3+1得1=16-5×3 由37=16×2+5得5=37-16×2，再代入上一步所得结果1=16-5×3=1=16-（37-16×2）×3=16×7-37×3 由53=37×1+16得16=53-37×1，再代入上一步所得结果1=16×7-37×3=（53-37×1）×7-37×3=53×7-37×10 即53×7-37×10=1 如果a=53,b=37,则x=7,y=-10
再问：我最后再麻烦问下哦~ 如果辗转相除的步骤很多，那最后这个1=blablabla中的中间数字不久要逆推代换很多次嘛？真是这么麻烦？
再答：有公式，不过公式更难记得住啊....你有初等数论的书么？书上有公式以及公式的证明，不过我是看不下去了 T_T

裴蜀定理的证明就是整数a,b,（a,b）是他们的最大公约数,则一定存在整数x,y,使得ax+by=(a,b)那么对于运用数论中的一个问题求证：axo+byo 是型如 ax+by的最小正数（a,b不全为0,x,y是任意整数）则：axo+b 若a整除n,b整除n,且存在整数x,y使得ax+by=1,证明ab整除n 不动点的证明设f(x)在上=[a,b]连续,且f(D)=[a,b],证明存在使得g=f(g) 试确定曲线y=ax^3+bx^2+cx+d中的a,b,c,d,使得x=-2处曲线的切线为水平,点（1,-10）为拐点,且设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,证明存在c,d属于(a,b)使得e的(d-c 函数f(x)的定义域为D,若满足:1.f(x)在D内是单调函数；存在[a,b]属于D,使得f(x)在[a,b]上得值域为设实数a,b,c ,d 满足a^2+b^2=1,x^2+y^2=3,则ax+by的取值范围命题“存在实数a b c d满足a*b*c*d=0,则abcd都为0” 的否定高中函数的题求教若函数f（X）为定义域D上单调函数,且存在区间[a,b]是D的子集（其中a＜b）,使得当x∈[a,b]时已知命题p:“全部x属于R,x的平方-a大于等于0",命题q："存在x'属于R,x'd的平方+2ax'+2-a=0",若证明周期函数证明：若存在不为零的常数a使得函数y=f(x)对定义域内的任一x均有f(x+a)=-f(x), 则此函数是周