已知数列{an}的前n项和Sn=aq^n+b(a不等于O,q是不等于O和1的常数)

来源：学生作业帮编辑：搜狗做题网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 21:21:40

已知数列{an}的前n项和Sn=aq^n+b(a不等于O,q是不等于O和1的常数)
求证:数列{an}为等比数列的充要条件是a+b=O

$已知数列{an}的前n项和Sn=aq^n+b(a不等于O,q是不等于O和1的常数)$

证明：
1、先证充分性：若a+b=0
当n>=2时an=Sn-S(n-1)=(aq^n+b)-(aq^(n-1)+b)=a(q-1)q^(n-1)
因为a+b=0即b=-a
所以当n=1时a1=S1=aq+b=aq-a=a(1-a)适合an=a(q-1)q^(n-1)
所以{an}通项是an=a(q-1)q^(n-1)
于是an/a(n-1)=a(q-1)q^(n-1)/a(q-1)q^(n-2)=2
所以:数列{an}为等比数列
2、再证必要性：若:数列{an}为等比数列
由Sn=aq^n+b得
当n>=2时an=Sn-S(n-1)=(aq^n+b)-(aq^(n-1)+b)=a(q-1)q^(n-1)
当n=1时a1=S1=aq+b=aq-a=a(1-a)
因为数列{an}为等比数列
所以当n=1时a1=S1=aq+b要适合an=Sn-S(n-1)=a(q-1)q^(n-1)
即aq+b=a(q-1)q^(1-1)
即aq+b=a(q-1)
即a+b=0
于是命题得证.

高中数列题! Sn是等比数列an的前n项和,已知Sn=a的n次方+b(a,b为常数且a不等于0,1),为什么这里的b要= 数列｛an｝的前n项和Sn＝na＋（n-1）nb （n=1.2......） b是常数，且b不等于0 已知数列{an}得前n项和为sn=an^2+bn(a,b为常数且a不等于0)求证数列{an}是等差数列已知数列an的前n项和sn满足：sn=a-1分之a（an-1）（a为常数,且a不等于0,a不等于1）求an的通项公式已知数列{an}的前n 项和sn=aq^n(a≠0,q≠1,q为非零常数）则数列{an}为什么数列. 已知数列{an}的前n 项和sn=aq^n(a≠0,q≠1,q为非零常数）则数列{an}为什么数列 ,已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=aq^2,（a≠0,q≠1,q为非零常数),那么该数列什么是数列? 设数列{an}的前n项和Sn=na+n（n-1）,（n=1,2,……）,a、b是常数且b不等于0 已知数列{an}的前n项和为sn(p是常数,且P不等于0和1）,且对任意的自然数n,总有sn=p(an-1),数列bn= 已知数列an是首项为a 且公比q不等于一1的等比数列 sn是其前n项和 a1 2a7 3a4成等差数列已知数列an是首项为a且公比q不等于1的等比数列,Sn是其前n项和,a1,2a7,3a4成等差数列. 设数列an的前n项和为sn,已知a1=a,a不等于3,a（n+1）=sn+3^n