是否存在整数A,B,使A的平方加B的平方等于2011成立?为什么?试证明你的观点
来源:学生作业帮 编辑:搜狗做题网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/25 17:03:52
是否存在整数A,B,使A的平方加B的平方等于2011成立?为什么?试证明你的观点
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不存在.
反证法.若存在 a 、b 使 a^2+b^2=2011 . (*)
有结论:任一整数 n ,若 n 为偶数,则 n^2 能被 4 整除;
若 n=2k+1 为奇数,则 n^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1 被 4 除余 1 .(其实被 8 除也余 1 )
所以,若 a、b 均为偶数,则 (*)左端是 4 的倍数,右端不是 ;
若 a 、b 均为奇数,则(*)左端是偶数,右端不是 ;
若 a、b一个奇数,一个偶数,则(*)左端被 4 除余 1 ,而右端被 4 除余 3 .
因此,不可能存在这样的两个整数,它俩的平方和等于 2011 .
反证法.若存在 a 、b 使 a^2+b^2=2011 . (*)
有结论:任一整数 n ,若 n 为偶数,则 n^2 能被 4 整除;
若 n=2k+1 为奇数,则 n^2=(2k+1)^2=4k(k+1)+1 被 4 除余 1 .(其实被 8 除也余 1 )
所以,若 a、b 均为偶数,则 (*)左端是 4 的倍数,右端不是 ;
若 a 、b 均为奇数,则(*)左端是偶数,右端不是 ;
若 a、b一个奇数,一个偶数,则(*)左端被 4 除余 1 ,而右端被 4 除余 3 .
因此,不可能存在这样的两个整数,它俩的平方和等于 2011 .